求多项式 $f(x)\ =\ x^3\ +\ 3px^2\ +\ 3qx\ +\ r$ 的根为等差数列的条件。

已知

多项式 $f(x)\ =\ x^3\ +\ 3px^2\ +\ 3qx\ +\ r$ 的根为等差数列。


要求

这里，我们要求出使得给定多项式的根为等差数列的条件。


解答

设给定多项式的根为 α，β 和 γ。


已知这些根为等差数列。

因此，我们将根表示为：

$α = s - d$，$β = s$ 和 $γ = s +d$，其中 $s$ 为首项，$d$ 为公差。

将 $f(x) $ 与三次多项式的标准形式比较，

$a= 1$，$b= 3p$，$c= 3q$ 和 $d=r$

因此，

根的和 $= α + β + γ = (s– d) +s + (s + d) = 3s = \frac{-b}{a} =\frac{-3p}{1} = -3p$

$3s= -3p$

$s=-p$

$β = s$ 是多项式 $f(x)$ 的一个根。

这意味着，

$f(s)=0$

$f(-p)=(-p)^3+3p(-p)^2+3q(-p)+r=0$

$-p^3+3p^3-3pq+r=0$

$2p^3-3pq+r=0$

多项式 $f(x)\ =\ x^3\ +\ 3px^2\ +\ 3qx\ +\ r$ 的根为等差数列的条件是 $2p^3-3pq+r=0$。

更新于：2022年10月10日

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