需要从多项式 $f(x)\ =\ x^4\ +\ 2x^3\ -\ 13x^2\ -12x\ +\ 21$ 中减去什么，才能使得到的多项式能够被 $x^2\ -\ 4x\ +\ 3$ 整除？

已知

已知多项式为 $f(x)\ =\ x^4\ +\ 2x^3\ -\ 13x^2\ -12x\ +\ 21$。除数为 $x^2\ -\ 4x\ +\ 3$。

要求

我们需要找到一个多项式，将其添加到多项式 $f(x)\ =\ x^4\ +\ 2x^3\ -\ 13x^2\ -12x\ +\ 21$ 中，使得得到的多项式能够被 $x^2\ -\ 4x\ +\ 3$ 整除。

解答

设 $x^2\ -\ 4x\ +\ 3$ 除以 $f(x)\ =\ x^4\ +\ 2x^3\ -\ 13x^2\ -12x\ +\ 21$ 的余数为 $r(x)$。

因此，

被除数 $=x^4+2x^3-13x^2-12x+21$

除数 $=x^2-4x+3$

 $x^2-4x+3$)$x^4+2x^3-13x^2-12x+21$($x^2+6x+8$

                       $x^4-4x^3+3x^2$

                      ------------------------------------

                                $6x^3-16x^2-12x+21$

                                 $6x^3-24x^2+18x$            

                               --------------------------

                                              $8x^2-30x+21$

                                             $8x^2-32x+24$

                                          -----------------------

                                                        $2x-3$

余数 $r(x)=2x-3$

如果我们从被除数中减去余数，那么它就可以被除数整除。

需要添加到多项式 $f(x)\ =\ x^4\ +\ 2x^3\ -\ 13x^2\ -12x\ +\ 21$ 中的多项式，使得得到的多项式能够被 $x^2\ -\ 4x\ +\ 3$ 整除的是 $2x-3$。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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