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法律研究需要从多项式 $f(x)\ =\ x^4\ +\ 2x^3\ -\ 13x^2\ -12x\ +\ 21$ 中减去什么，才能使得到的多项式能够被 $x^2\ -\ 4x\ +\ 3$ 整除？
已知
已知多项式为 $f(x)\ =\ x^4\ +\ 2x^3\ -\ 13x^2\ -12x\ +\ 21$。除数为 $x^2\ -\ 4x\ +\ 3$。
要求
我们需要找到一个多项式，将其添加到多项式 $f(x)\ =\ x^4\ +\ 2x^3\ -\ 13x^2\ -12x\ +\ 21$ 中，使得得到的多项式能够被 $x^2\ -\ 4x\ +\ 3$ 整除。
解答
设 $x^2\ -\ 4x\ +\ 3$ 除以 $f(x)\ =\ x^4\ +\ 2x^3\ -\ 13x^2\ -12x\ +\ 21$ 的余数为 $r(x)$。
因此，
被除数 $=x^4+2x^3-13x^2-12x+21$
除数 $=x^2-4x+3$
$x^2-4x+3$)$x^4+2x^3-13x^2-12x+21$($x^2+6x+8$
$x^4-4x^3+3x^2$
------------------------------------
$6x^3-16x^2-12x+21$
$6x^3-24x^2+18x$
--------------------------
$8x^2-30x+21$
$8x^2-32x+24$
-----------------------
$2x-3$
余数 $r(x)=2x-3$
如果我们从被除数中减去余数，那么它就可以被除数整除。
需要添加到多项式 $f(x)\ =\ x^4\ +\ 2x^3\ -\ 13x^2\ -12x\ +\ 21$ 中的多项式，使得得到的多项式能够被 $x^2\ -\ 4x\ +\ 3$ 整除的是 $2x-3$。
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