需要向多项式 $f(x)\ =\ x^4\ +\ 2x^3\ -\ 2x^2\ +\ x\ -\ 1$ 添加什么，才能使得到的多项式能够被 $x^2\ +\ 2x\ -\ 3$ 整除？

已知： 

给定的多项式为 $f(x)\ =\ 3x^4\ -\ 9x^3\ +\ x^2\ +\ 15x\ +\ k$。 

除数为 $3x^2\ -\ 5$。 

需要做的事情

我们需要找到必须添加到多项式  $f(x)\ =\ x^4\ +\ 2x^3\ -\ 2x^2\ +\ x\ -\ 1$  中的多项式，以便得到的多项式能够被  $x^2\ +\ 2x\ -\ 3$ 整除。

解答：

假设当 $x^2\ +\ 2x\ -\ 3$ 除以 $f(x)\ =\ x^4\ +\ 2x^3\ -\ 2x^2\ +\ x\ -\ 1$ 时，余数为 $r(x)$。

因此，

被除数$=x^4+2x^3-2x^2+x-1$

除数$=x^2+2x-3$

 $x^2+2x-3$)$x^4+2x^3-2x^2+x-1$($x^2+1-15$

                       $x^4+2x^3-3x^2$

               -------------------------------

                                        $x^2+x-1$

                                          $x^2+2x-3$            

                                         -------------

                                              $-x+2$ 

余数$r(x)=-x+2$

如果我们从被除数中减去余数，那么它就可以被除数完全整除。

 因此，我们必须添加 $-r(x)=-(-x+2)=x-2$。

 必须添加到多项式  $f(x)\ =\ x^4\ +\ 2x^3\ -\ 2x^2\ +\ x\ -\ 1$  中的多项式，以便得到的多项式能够被  $x^2\ +\ 2x\ -\ 3$ 整除的是 $x-2$。

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更新时间： 2022年10月10日

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