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法律研究从 $x^3 - 6x^2 - 15x + 80$ 中减去什么表达式，才能使结果被 $x^2 + x - 12$ 整除？
已知
已知表达式为 $x^3 - 6x^2 - 15x + 80$。
要求
我们必须找到一个表达式，从 $x^3 - 6x^2 - 15x + 80$ 中减去它，使得结果能够被 $x^2 + x - 12$ 整除。
解答
我们知道：
如果 $(x-m)$ 是 $f(x)$ 的根，则 $f(m)=0$。
令 $f(x)=x^{3}-6 x^{2}-15 x+80$ 和 $g(x)=x^{2}+x-12$。
用 $g(x)$ 除 $f(x)$，令余数为 $r(x)$
假设从 $f(x)$ 中减去 $ax+b$ 后，结果能够被 $g(x)$ 整除。
$p(x)=f(x)-(ax+b)$
$=x^{3}-6 x^{2}-15 x+80-ax-b$
$g(x)=x^{2}+x-12$
$=x^{2}+4 x-3 x-12$
$=x(x+4)-3(x+4)$
$=(x+4)(x-3)$
$x+4$ 和 $x-3$ 是 $p(x)$ 的因式。
这意味着：
$p(-4)=(-4)^{3}-6(-4)^{2}-15(-4)+80-a(-4)-b=0$
$-64-96+60+80+4 a-b=0$
$-160+140+4 a-b=0$
$4 a-b-20=0$
$b=4a-20$..........(i)
$p(3)=(3)^{3}-6(3)^{2}-15(3)+80-a(3)-b=0$
$27-54-45+80-3 a-b=0$
$107-99-3 a-b=0$
$8-3 a-b=0$
$8-3a-(4a-20)=0$ [由(i)式]
$8-3a-4a+20=0$
$7a=28$
$a=4$
$b=4(4)-20$
$=16-20$
$=-4$
因此，必须从 $x^3 - 6x^2 - 15x + 80$ 中减去 $4x-4$，才能使结果被 $x^2 + x - 12$ 整除。
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