求 $p$ 和 $q$ 的值，使得 $x^4 + px^3 + 2x^2 - 3x + q$ 可以被 $(x^2 - 1)$ 整除。

已知

给定的表达式为 $x^4 + px^3 + 2x^2 - 3x + q$。

$x^4 + px^3 + 2x^2 - 3x + q$ 可以被 $(x^2 - 1)$ 整除。

要求

我们需要找到 $p$ 和 $q$ 的值。

解答

我们知道：

如果 $(x-m)$ 是 $f(x)$ 的一个根，则 $f(m)=0$。

$x^2-1=x^2-1^2$

$=(x+1)(x-1)$

这意味着，$x+1$ 和 $x-1$ 是 $x^4 + px^3 + 2x^2 - 3x + q$ 的因式。

因此，

$f(-1)=0$

$\Rightarrow (-1)^4+p(-1)^3+2(-1)^2 - 3(-1) + q=0$

$\Rightarrow 1-p+2+3+q=0$

$\Rightarrow p=6+q$...............(i)

$f(1)=0$

$\Rightarrow (1)^4+p(1)^3+2(1)^2 - 3(1) + q=0$

$\Rightarrow 1+p+2-3+q=0$

$\Rightarrow 6+q+q=0$                   [由 (i) 得]

$\Rightarrow 6+2q=0$

$\Rightarrow 2q=-6$

$\Rightarrow q=-3$

$\Rightarrow p=6+(-3)=6-3=3$

$p$ 和 $q$ 的值分别为 $3$ 和 $-3$。      

更新于： 2022 年 10 月 10 日

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