如果多项式 $x^2+px+q$ 的零点是 $2x^2-5x-3$ 的零点的两倍，求 $p$ 和 $q$ 的值。

已知：多项式 $x^2+px+q$ 的零点是 $2x^2-5x-3$ 的零点的两倍。

要求：求 $p$ 和 $q$ 的值。

解

设 $\alpha$ 和 $\beta$ 是 $2x^2-5x-3$ 的零点。

因此，零点之和 $\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{2}=\frac{5}{2}\ ......\ ( i)$

零点之积 $\alpha\beta=\frac{c}{a}=\frac{-3}{2}\ ......\ ( ii)$。

对于多项式 $x^2+px+q$

零点将是 $2\alpha$ 和 $2\beta$

零点之和 $2\alpha+2\beta=-\frac{p}{1}=-p$

$\Rightarrow 2( \alpha+\beta)=-p$

$\Rightarrow 2times\frac{5}{2}=-p$         [由 $( i)\ \alpha+\beta=\frac{5}{2}$]

$\Rightarrow p=-5$

零点之积 $2\alpha.2\beta=\frac{q}{1}$

$\Rightarrow 4\alpha\beta=q$

$\Rightarrow 4\times( -\frac{3}{2})=q$  [由 $( ii)\ \alpha\beta=\frac{-3}{2}$]

$\Rightarrow q=-6$

因此，$p=-5$ 和 $q=-6$。

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更新于： 2022年10月10日

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