如果 $x = 2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{2}{3}}$，证明 $x^3 - 6x = 6$。

已知

$x = 2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{2}{3}}$

要求：

我们需要证明 $x^3 - 6x = 6$。

解

我们知道，

$(a^{m})^{n}=a^{m n}$

$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$

$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$

$a^{0}=1$

因此，

$x=2^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{2}{3}}$

两边立方，我们得到，

$x^{3}=(2^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{2}{3}})^{3}$

$=(2^{\frac{1}{3}})^3+(2^{\frac{2}{3}})^{3}+3 \times 2^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{2}{3}}(2^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{2}{3}})$

$=2+4+3 \times 2^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}} \times x$

$=6+3 \times 2 \times x$

$=6 x+6$

$\Rightarrow x^{3}-6 x=6$

证毕。

教程点

更新于: 2022年10月10日

42 次浏览

开启你的 职业生涯

完成课程获得认证

立即开始