如果\( 2^{x}=3^{y}=12^{z} \)，证明\( \frac{1}{z}=\frac{1}{y}+\frac{2}{x} \)。

已知

\( 2^{x}=3^{y}=12^{z} \)

要求： 

我们需要证明\( \frac{1}{z}=\frac{1}{y}+\frac{2}{x} \)。

解答

我们知道，

$(a^{m})^{n}=a^{m n}$

$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$

$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$

$a^{0}=1$

因此，

令 $2^{x}=3^{y}=12^{z}=k$

这意味着，

$2=k^{\frac{1}{x}}, 3=k^{\frac{1}{y}}, 12=k^{\frac{1}{z}}$

$\Rightarrow 2^{2} \times 3=(k^{\frac{1}{x}})^2 \times k^{\frac{1}{y}}$

$\Rightarrow 12=(k^{\frac{1}{x}})^{2} \times (k^{\frac{1}{y}})$

$\Rightarrow k^{\frac{1}{z}}=(k^{\frac{1}{x}})^{2} \times (k^{\frac{1}{y}})$

$\Rightarrow k^{\frac{2}{x}} \times k^{\frac{1}{y}}=k^{\frac{1}{z}}$

$\Rightarrow k^{\frac{2}{x}+\frac{1}{y}}=k^{\frac{1}{z}}$

比较两边，我们得到，
$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$

证毕。

教程点

更新于: 2022年10月10日

69 次查看

开启你的 职业生涯

完成课程获得认证

立即开始