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法律研究验证x3+y3+z3−3xyz=12(x+y+z)[(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2]
待办事项
我们需要验证x3+y3+z3−3xyz=12(x+y+z)[(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2].
解决方案
我们知道，
a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)
因此，
LHS =x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)
=12(x+y+z)[2(x2+y2+z2−xy−yz−zx)]
=12(x+y+z)(2x2+2y2+2z2−2xy−2yz−2zx)
=12(x+y+z)(x2+x2+y2+y2+z2+z2−2xy−2yz−2zx)
=12(x+y+z)(x2+y2−2xy+y2+z2−2yz+x2+z2−2zx)
=12(x+y+z)[(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2]
= RHS
因此， x3+y3+z3−3xyz=12(x+y+z)[(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2].
更新于: 2022年10月10日
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