将以下每个表达式因式分解：\( \left(\frac{x}{2}+y+\frac{z}{3}\right)^{3}+\left(\frac{x}{3}-\frac{2 y}{3}+z\right)^{3} +\left(-\frac{5 x}{6}-\frac{y}{3}-\frac{4 z}{3}\right)^{3} \)

---

已知

\( \left(\frac{x}{2}+y+\frac{z}{3}\right)^{3}+\left(\frac{x}{3}-\frac{2 y}{3}+z\right)^{3}  +\left(-\frac{5 x}{6}-\frac{y}{3}-\frac{4 z}{3}\right)^{3} \)

需要做

我们需要将给定的表达式相乘。

解答

我们知道，

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c) (a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

如果 $a + b + c = 0$，则 $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$

这里，

$\frac{x}{2}+y+\frac{z}{3}+\frac{x}{3}-\frac{2 y}{3}+z+\frac{-5 x}{6}-\frac{y}{3}-\frac{4}{3} z=\frac{x}{2}+\frac{x}{3}-\frac{5 x}{6}+y-\frac{2 y}{3}-\frac{y}{3}+\frac{z}{3}+z-\frac{4}{3} z$

$=\frac{3 x+2 x-5 x}{6}+\frac{3 y-2 y-y}{3}+\frac{z+3 z-4 z}{3}$

$=0+0+0$

$=0$

因此，

$(\frac{x}{2}+y+\frac{z}{3})^{3}+(\frac{x}{3}-\frac{2 y}{3}+z)^{3}  +(-\frac{5 x}{6}-\frac{y}{3}-\frac{4 z}{3})^{3} = 3 (\frac{x}{2}+y+\frac{z}{3})(\frac{x}{3}-\frac{2 y}{3}+z)(-\frac{5 x}{6}-\frac{y}{3}-\frac{4 z}{3})$

因此，$(\frac{x}{2}+y+\frac{z}{3})^{3}+(\frac{x}{3}-\frac{2 y}{3}+z)^{3}  +(-\frac{5 x}{6}-\frac{y}{3}-\frac{4 z}{3})^{3} = 3 (\frac{x}{2}+y+\frac{z}{3})(\frac{x}{3}-\frac{2 y}{3}+z)(-\frac{5 x}{6}-\frac{y}{3}-\frac{4 z}{3})$.