如果 \( 2^{x}=3^{y}=6^{-z} \)，证明 \( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0 \).

已知

 \( 2^{x}=3^{y}=6^{-z} \)

要求：

我们需要证明 \( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0 \).

解答

我们知道：

$(a^{m})^{n}=a^{m n}$

$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$

$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$

$a^{0}=1$

因此：

设 $2^{x}=3^{y}=6^{-z}=k$

这意味着：

$2=k^{\frac{1}{x}}, 3=k^{\frac{1}{y}}$ 以及 $6=k^{\frac{-1}{z}}$
$\Rightarrow 2 \times 3=k^{\frac{-1}{z}}$

$\Rightarrow k^{\frac{1}{x}} \times k^{\frac{1}{y}}=k^{\frac{-1}{z}}$

$\Rightarrow k^{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}=k^{\frac{-1}{z}}$

比较两边，我们得到：

$\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{-1}{z}$

$\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$

证毕。 

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更新于：2022年10月10日

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