解下列方程组
$\frac{6}{x+y} =\frac{7}{x-y}+3$
$\frac{1}{2(x+y)}=\frac{1}{3(x-y)}$

已知

给定的方程组为

$\frac{6}{x+y} =\frac{7}{x-y}+3$

$\frac{1}{2(x+y)}=\frac{1}{3(x-y)}$

要求

我们需要解给定的方程组。

解答

令 $\frac{1}{x+y}=u$ 和 $\frac{1}{x-y}=v$

这意味着，给定的方程组可以写成：

$\frac{6}{x+y} =\frac{7}{x-y}+3$

$6u=7v+3$

$6u-7v-3=0$---(i)

$\frac{1}{2(x+y)}=\frac{1}{3(x-y)}$

$\frac{u}{2}=\frac{v}{3}$

$3u=2v$

$u=\frac{2v}{3}$---(ii)

将 $u=\frac{2v}{3}$ 代入方程 (i)，得到：

$6(\frac{2v}{3})-7v-3=0$

$2(2v)-7v=3$

$4v-7v=3$

$-3v=3$

$v=\frac{3}{-3}$

$v=-1$

使用 $v=-1$ 代入方程 (i)，得到：

$6u-7(-1)-3=0$

$6u+7-3=0$

$6u+4=0$

$6u=-4$

$u=\frac{-4}{6}$

$u=\frac{-2}{3}$

使用 $u$ 和 $v$ 的值，得到：

$\frac{1}{x+y}=\frac{-2}{3}$

$\Rightarrow x+y=\frac{-3}{2}$.....(iii)

$\frac{1}{x-y}=-1$

$\Rightarrow x-y=-1$.....(iv)

将方程 (iii) 和 (iv) 相加，得到：

$x+y+x-y=\frac{-3}{2}+(-1)$

$2x=\frac{-3-1\times2}{2}$

$2x=\frac{-5}{2}$

$x=\frac{\frac{-5}{2}}{2}$

$x=\frac{-5}{4}$

将 $x$ 的值代入 (iv)，得到：

$\frac{-5}{4}-y=-1$

$y=\frac{-5}{4}+1$

$y=\frac{-5+4\times1}{4}$

$y=\frac{-1}{4}$

因此，给定方程组的解为 $x=\frac{-5}{4}$ 和 $y=\frac{-1}{4}$。  

更新时间： 2022 年 10 月 10 日

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