要向 $3x^3 + x^2 - 22x + 9$ 添加什么才能使结果被 $3x^2 + 7x - 6$ 整除？

已知

给定的表达式是 $3x^3 + x^2 - 22x + 9$。

需要做的事情

我们必须找到需要添加到 $3x^3 + x^2 - 22x + 9$ 的表达式，以便结果能够被 $3x^2 + 7x - 6$ 整除。

解答

我们知道：

如果 $(x-m)$ 是 $f(x)$ 的根，则 $f(m)=0$。

令 $f(x)=3x^3 + x^2 - 22x + 9$ 且 $g(x)=3x^{2}+7x-6$。

用 $g(x)$ 除以 $f(x)$，我们得到一个一次余式。因此，设 $ax+b$ 被添加到 $f(x)$ 以得到 $p(x)=f(x)+r(x)$

这意味着：

$3x^3 + x^2 - 22x + 9+a x+b$ 可以被 $g(x)$ 整除

$g(x)=3 x^{2}+7 x-6$

$=3 x^{2}+9 x-2 x-6$

$=3 x(x+3)-2(x+3)$

$=(x+3)(3 x-2)$

$x+3$ 和 $3x-2$ 是 $3x^3 + x^2 - 22x + 9+a x+b$ 的因式。

$p(-3)=3(-3)^{3}+(-3)^{2}-22(-3)+9+a(-3)+b=0$

$-81+9+66+9-3 a+b=0$

$-81+84-3 a+b=0$

$3-3 a+b=0$

$b=3a-3$.........(i)

$3 x-2=0$

$3 x=2$

$x=\frac{2}{3}$

$p(\frac{2}{3})=3(\frac{2}{3})^{3}+(\frac{2}{3})^{2}-22(\frac{2}{3})+9+a(\frac{2}{3})+b=0$

$3 \times \frac{8}{27}+\frac{4}{9}-\frac{44}{3}+9+\frac{2}{3} a+b=0$

$\frac{8}{9}+\frac{4}{9}-\frac{44}{3}+\frac{9}{1}+\frac{2}{3} a+b=0$

$\frac{8+4-132+81+6 a+9 b}{9}=0$

$\frac{93-132+6 a+9 b}{9}=0$

$\frac{-39+6 a+9 b}{9}=0$

$-39+6 a+9 b=0$

$6 a+9 (3a-3)=39$                   [来自 (i)]

$6a+27a-27=39$

$33a=39+27$

$33a=66$

$a=2$

$b=3(2)-3$

$=6-3$

$=3$

因此，必须向 $3x^3 + x^2 - 22x + 9$ 添加 $2x+3$，以便结果能够被 $3x^2 + 7x - 6$ 整除。

教程点

更新于： 2022-10-10

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