求多项式 $x^3+ 3x^2 + 3x + 1$ 除以 \( 5+2 x \) 的余数。

已知

$x^3+ 3x^2 + 3x + 1$ 除以 $5+2 x$

要求

我们要求多项式 $x^3+ 3x^2 + 3x + 1$ 除以 $5+2 x$ 的余数。

解答

余数定理指出，当多项式 $p(x)$ 除以线性多项式 $x - a$ 时，余数等于 $p(a)$。

设 $f(x) = x^3+ 3x^2 + 3x + 1$

$g(x)= 5+2 x$

$2x+5=0$

$2x=-5$

$x=\frac{-5}{2}$

因此，余数将为 $f(\frac{-5}{2})$。

$f(\frac{-5}{2}) = (\frac{-5}{2})^3+3(\frac{-5}{2})^2+3(\frac{-5}{2}) + 1$

$= \frac{-125}{8}+3(\frac{25}{4})-\frac{15}{2}+1$

$=\frac{-125+75(2)-15(4)+1(8)}{8}$

$=\frac{-125+150-60+8}{8}$

$=\frac{-27}{8}$

因此，余数是 $\frac{-27}{8}$。 

教程点

更新于: 2022年10月10日

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