如果多项式 $2x^3 + ax^2 + 3x - 5$ 和 $x^3 + x^2 - 4x + a$ 被 $x - 2$ 除后留下相同的余数，求 $a$ 的值。

已知

多项式 $2x^3 + ax^2 + 3x - 5$ 和 $x^3 + x^2 - 4x + a$ 被 $x - 2$ 除后留下相同的余数。

要求

我们必须找到 $a$ 的值。

解答

余数定理指出，当一个多项式 $p(x)$ 被线性多项式 $x - a$ 除时，该除法的余数将等于 $p(a)$。

设 $f(x) = 2x^3 + ax^2 + 3x - 5$ 和 $g(x) = x^3 + x^2 - 4x + a$

$p(x) = x-2$

因此，余数将为 $f(2)$ 和 $g(2)$。

$f(2) = 2(2)^3+a(2)^2+3(2) -5$

$= 2(8) + a(4) +6-5$

$=16+4a+1$

$=4a+17$

$g(2) = (2)^3+(2)^2-4(2) +a$

$= 8 + 4 -8 +a$

$=4+a$

这意味着：

$4a+17=4+a$

$4a-a=4-17$

$3a=-13$

$a=\frac{-13}{3}$

因此，$a$ 的值为 $\frac{-13}{3}$。  

教程点

更新于：2022年10月10日

60 次浏览

启动您的 职业生涯

完成课程获得认证

开始学习