若多项式 $ax^3 + 3x^2 - 13$ 和 $2x^3 - 5x + a$ 除以 $(x - 2)$ 后余数相同，求 a 的值。

已知

多项式 $ax^3 + 3x^2 - 13$ 和 $2x^3 - 5x + a$ 除以 $(x - 2)$ 后余数相同。

求

求 a 的值。

解

余数定理指出，当多项式 $p(x)$ 除以一次多项式 $x - a$ 时，该除法的余数将等同于 $p(a)$。

设 $f(x) = ax^3 + 3x^2 - 13$，$g(x) = 2x^3 - 5x + a$

$p(x) = x - 2$

所以，余数将是 $f(2)$ 和 $g(2)$。

$f(2) = a(2)^3 + 3(2)^2 - 13$

$= a(8) + 3(4) - 13$

$= 8a + 12 - 13$

$= 8a - 1$

$g(2) = 2(2)^3 - 5(2) + a$

$= 2(8) - 10 + a$

$= 16 - 10 + a$

$= a + 6$

这意味着

$8a - 1 = a + 6$

$8a - a = 6 + 1$

$7a = 7$

$a = 1$

因此，$a$ 的值为 $1$。   

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更新于： 10-10-2022

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