求多项式 $x^3+ 3x^2 + 3x + 1$ 除以 \( x-\frac{1}{2} \) 的余数。

已知

$x^3+ 3x^2 + 3x + 1$ 被 $x-\frac{1}{2}$ 除

要求

我们要求出 $x^3+ 3x^2 + 3x + 1$ 被 $x-\frac{1}{2}$ 除的余数。

解

余数定理指出，当一个多项式 $p(x)$ 被一个线性多项式 $x - a$ 除时，该除法的余数将等价于 $p(a)$。

令 $f(x) = x^3+ 3x^2 + 3x + 1$ 和 $g(x) = x-\frac{1}{2}$

因此，余数将为 $f(\frac{1}{2})$。

$f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^3+3(\frac{1}{2})^2+3(\frac{1}{2}) + 1$

$= \frac{1}{8} + 3(\frac{1}{4}) +\frac{3}{2}+1$

$=\frac{1+3(2)+3(4)+1(8)}{8}$

$=\frac{1+6+12+8}{8}$

$=\frac{27}{8}$

因此，余数为 $\frac{27}{8}$。   

教程点

更新于: 2022年10月10日

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