求多项式 $x^3+ 3x^2 + 3x + 1$ 被 \( x+\pi \) 除后的余数。

已知

$x^3+ 3x^2 + 3x + 1$ 被 $x+\pi$ 除

要求

我们要求出多项式 $x^3+ 3x^2 + 3x + 1$ 被 $x+\pi$ 除后的余数。

解

余数定理指出，当一个多项式 $p(x)$ 被一个线性多项式 $x - a$ 除时，该除法的余数将等价于 $p(a)$。

令 $f(x) = x^3+ 3x^2 + 3x + 1$ 且 $g(x) = x+\pi=x-(-\pi)$

因此，余数将为 $f(-\pi)$。

$f(-\pi) = (-\pi)^3+3(-\pi)^2+3(-\pi) + 1$

$= -pi^{3}+3\pi^{2}-3\pi+1$

因此，余数为 $-pi^{3}+3\pi^{2}-3\pi+1$。

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更新于: 2022年10月10日

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