数据结构
网络
RDBMS
操作系统
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C 编程
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理
化学
生物
数学
英语
经济学
心理学
社会学
服装设计
法律学当 \( x^{3}+3 x^{2}+3 x+1 \) 被以下除数除时，求余数：
(i) \( x+1 \)
(ii) \( x-\frac{1}{2} \)
(iii) \( x \)
(iv) \( x+\pi \)
(v) \( 5+2 x \)
需要解决的问题
我们需要求出 $x^3+ 3x^2 + 3x + 1$ 被以下除数除时的余数：
(i) \( x+1 \)
(ii) \( x-\frac{1}{2} \)
(iii) \( x \)
(iv) \( x+\pi \)
(v) \( 5+2 x \)
解答
余数定理指出，当一个多项式 $p(x)$ 被一个线性多项式 $x - a$ 除时，该除法的余数将等价于 $p(a)$。
设 $f(x) =x^{3}+3 x^{2}+3 x+1$
因此，
(i) 设 $p(x) = x +1$
$=x-(-1)$
因此，余数将为 $f(-1)$。
$f(-1) =(-1)^{3}+3 (-1)^{2}+3 (-1)+1$
$= -1+3(1)-3+1$
$=-1+1+3-3$
$=0$
因此，余数为 $0$。
(ii) 设 $q(x)=x-\frac{1}{2}$
因此，余数将为 $f(\frac{1}{2})$。
$f(\frac{1}{2}) =(\frac{1}{2})^{3}+3 (\frac{1}{2})^{2}+3 (\frac{1}{2})+1$
$= \frac{1}{8}+3(\frac{1}{4})+\frac{3}{2}+1$
$=\frac{1}{8}+\frac{3}{4}+\frac{3}{2}+1$
$=\frac{1+3\times2+3\times4+1\times8}{8}$ (8,4,2 和 1 的最小公倍数是 8)
$=\frac{1+6+12+8}{8}$
$=\frac{27}{8}$
因此，余数为 $\frac{27}{8}$。
(iii) 设 $r(x) = x $
$=x-0$
因此，余数将为 $f(0)$。
$f(0) =(0)^{3}+3 (0)^{2}+3 (0)+1$
$= 0+3(0)+0+1$
$=1$
因此，余数为 $1$。
(iv) 设 $s(x) = x+\pi $
$=x-(-\pi)$
因此，余数将为 $f(-\pi)$。
$f(-\pi) =(-\pi)^{3}+3 (-\pi)^{2}+3 (-\pi)+1$
$= -\pi^3+3\pi^2-3\pi+1$
因此，余数为 $ -\pi^3+3\pi^2-3\pi+1$。
(v) 设 $t(x) = 5+2x$
$2x+5=0$
$2x=-5$
$x=\frac{-5}{2}$
因此，余数将为 $f(-\frac{5}{2})$。
$f(-\frac{5}{2}) =(-\frac{5}{2})^{3}+3 (-\frac{5}{2})^{2}+3 (-\frac{5}{2})+1$
$= -\frac{125}{8}+3(\frac{25}{4})-\frac{15}{2}+1$
$= -\frac{125}{8}+\frac{75}{4}-\frac{15}{2}+1$
$=\frac{-125+75\times2-15\times4+1\times8}{8}$ (8,4,2 和 1 的最小公倍数是 8)
$=\frac{-125+150-60+8}{8}$
$=\frac{158-185}{8}$
$=\frac{-27}{8}$
因此，余数为 $-\frac{27}{8}$。
39 次浏览
