当 $x^{3}+3 x^{2}+3 x+1$ 被以下除数除时，求余数：
(i) $x+1$
(ii) $x-\frac{1}{2}$
(iii) $x$
(iv) $x+\pi$
(v) $5+2 x$

需要解决的问题

我们需要求出 $x^3+ 3x^2 + 3x + 1$ 被以下除数除时的余数：

(i) $x+1$
(ii) $x-\frac{1}{2}$
(iii) $x$
(iv) $x+\pi$
(v) $5+2 x$

解答

余数定理指出，当一个多项式 $p(x)$ 被一个线性多项式 $x - a$ 除时，该除法的余数将等价于 $p(a)$。

设 $f(x) =x^{3}+3 x^{2}+3 x+1$

因此，

(i) 设 $p(x) = x +1$

$=x-(-1)$

因此，余数将为 $f(-1)$。

$f(-1) =(-1)^{3}+3 (-1)^{2}+3 (-1)+1$

$= -1+3(1)-3+1$

$=-1+1+3-3$

$=0$

因此，余数为 $0$。 

 (ii) 设 $q(x)=x-\frac{1}{2}$

因此，余数将为 $f(\frac{1}{2})$。

$f(\frac{1}{2}) =(\frac{1}{2})^{3}+3 (\frac{1}{2})^{2}+3 (\frac{1}{2})+1$

$= \frac{1}{8}+3(\frac{1}{4})+\frac{3}{2}+1$

$=\frac{1}{8}+\frac{3}{4}+\frac{3}{2}+1$

$=\frac{1+3\times2+3\times4+1\times8}{8}$       (8,4,2 和 1 的最小公倍数是 8) 

$=\frac{1+6+12+8}{8}$

$=\frac{27}{8}$

因此，余数为 $\frac{27}{8}$。 

(iii) 设 $r(x) = x$

$=x-0$

因此，余数将为 $f(0)$。

$f(0) =(0)^{3}+3 (0)^{2}+3 (0)+1$

$= 0+3(0)+0+1$

$=1$

因此，余数为 $1$。 

(iv) 设 $s(x) = x+\pi$

$=x-(-\pi)$

因此，余数将为 $f(-\pi)$。

$f(-\pi) =(-\pi)^{3}+3 (-\pi)^{2}+3 (-\pi)+1$

$= -\pi^3+3\pi^2-3\pi+1$

因此，余数为 $-\pi^3+3\pi^2-3\pi+1$。

(v) 设 $t(x) = 5+2x$

$2x+5=0$

$2x=-5$

$x=\frac{-5}{2}$

因此，余数将为 $f(-\frac{5}{2})$。

$f(-\frac{5}{2}) =(-\frac{5}{2})^{3}+3 (-\frac{5}{2})^{2}+3 (-\frac{5}{2})+1$

$= -\frac{125}{8}+3(\frac{25}{4})-\frac{15}{2}+1$

$= -\frac{125}{8}+\frac{75}{4}-\frac{15}{2}+1$

$=\frac{-125+75\times2-15\times4+1\times8}{8}$         (8,4,2 和 1 的最小公倍数是 8)

$=\frac{-125+150-60+8}{8}$

$=\frac{158-185}{8}$

$=\frac{-27}{8}$

因此，余数为 $-\frac{27}{8}$。

教程点

更新于： 2022年10月10日

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