确定下列哪个多项式有因子(x+1)
(i) x³+x²+x+1
(ii) x⁴+x³+x²+x+1
(iii) x⁴+3x³+3x²+x+1
(iv) x³-x²-(2+√2)x+√2

已知

已知项为(x + 1)。

已知多项式为

(i) x³+x²+x+1

(ii) x⁴+x³+x²+x+1

(iii) x⁴+3x³+3x²+x+1
(iv) x³-x²-(2+√2)x+√2

求解

我们必须检查给定的多项式是否具有(x + 1)作为因子。

解答

根据因式定理，

如果(x+1)是给定多项式P(x)的因子，则当x = -1时，p(x)=0。

(i) x³+x²+x+1

令p(x)= x³+x²+x+1

代入x= -1

p(-1)=(-1)³+(-1)²+(-1)+1 = -1+1-1+1=0

因此，根据因式定理，x+1是x³+x²+x+1的因子。

(ii) x⁴+x³+x²+x+1

令p(x)=x⁴+x³+x²+x+1

代入x= -1

p(-1)=(-1)⁴+(-1)³+(-1)²+(-1)+1 =1-1+1-1+1=1

因此，根据因式定理，x+1不是x⁴+x³+x²+x+1的因子。

(iii) x⁴+3x³+3x²+x+1

令p(x)=x⁴+3x³+3x²+x+1

代入x= -1

p(-1)=(-1)⁴+3(-1)³+3(-1)²+(-1)+1 =1-3+3-1+1=1

因此，根据因式定理，x+1不是x⁴+3x³+3x²+x+1的因子。

(iv) x³-x²-(2+√2)x+√2

令p(x)=x³-x²-(2+√2)x+√2

代入x= -1

p(-1)=(-1)³-(-1)²-(2+√2)(-1)+√2=-1-1+(2+√2)+√2

=-2+2+√2+√2

=2√2

因此，根据因式定理，x+1不是x³-x²-(2+√2)x+√2的因子。

教程点

更新于：2022年10月10日

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