因式分解
(i) \( x^{3}-2 x^{2}-x+2 \)
(ii) \( x^{3}-3 x^{2}-9 x-5 \)
(iii) \( x^{3}+13 x^{2}+32 x+20 \)
(iv) \( 2 y^{3}+y^{2}-2 y-1 \)
解题步骤
我们需要对给定的表达式进行因式分解。
解答
(i) \( x^{3}-2 x^{2}-x+2 \)
设 \(f(x)=x^{3}-2 x^{2}-x+2\)
2 的因数为 ±1 和 ±2。 [ \(x^3\) 系数和常数项的乘积 = 1×2=2]
通过试错法，我们得到：
\(f(1)=(1)^{3}-2 (1)^{2}-(1)+2\)
$=1-2(1)-1+2$
$=3-3$
$=0$
这意味着：
\(x-1\) 是 \(f(x)\) 的一个因数。
因此：
\(f(x)=x^3-2x^2-x+2\)
\(= x^3 - x^2 - x^2 + x - 2x + 2\)
\(= x^2 (x - 1) - x (x - 1)-2 (x - 1)\)
\(= (x - 1)(x^2 - x - 2)\)
\(= (x - 1)(x^2 - 2x+x-2)\)
\(= (x - 1) [x (x - 2) + 1 (x - 2)]\)
\(= (x - 1) (x - 2)(x + 1)\)
(ii) \( x^{3}-3 x^{2}-9 x-5 \)
设 \(f(x)=x^{3}-3 x^{2}-9 x-5\)
-5 的因数为 ±1 和 ±5。 [ \(x^3\) 系数和常数项的乘积 = 1×-5=-5]
通过试错法，我们得到：
\(f(5)=(5)^{3}-3 (5)^{2}-9(5)-5\)
$=125-3(25)-45-5$
$=125-75-50$
$=125-125$
$=0$
这意味着：
\(x-5\) 是 \(f(x)\) 的一个因数。
因此：
\(f(x)=x^3-3x^2-9x-5\)
\(= x^3-5x^2 + 2x^2-10x+x-5\)
\(= x^2(x - 5)+2x(x - 5)+1(x - 5)\)
\(= (x - 5) (x^2 + 2x + 1)\)
\(= (x - 5) (x^2 + x + x + 1)\)
\(= (x - 5) [x (x + 1)+ 1 (x+ 1)]\)
\(= (x - 5) (x + 1) (x + 1)\)
\(= (x - 5)(x+1)^2\)
(iii) \( x^{3}+13 x^{2}+32 x+20 \)
设 \(f(x)=x^{3}+13 x^{2}+32 x+20\)
20 的因数为 ±1, ±2, ±4, ±5, ±10 和 ±20。 [ \(x^3\) 系数和常数项的乘积 = 1×20=20]
通过试错法，我们得到：
\(f(-1)=(-1)^{3}+13 (-1)^2+32(-1)+20\)
$=-1+13(1)-32+20$
$=-33+13+20$
$=33-33$
$=0$
这意味着：
\(x-(-1)=x+1\) 是 \(f(x)\) 的一个因数。
因此：
\(f(x)=x^{3}+13 x^{2}+32 x+20\)
\(= x^3+ x^2 + 12x^2 + 12x+ 20x+ 20\)
\(=x^2(x+ 1) + 12x(x+ 1)+ 20 (x+ 1)\)
\(= (x+1)(x^2+12x+20)\)
\(= (x+ 1) (x^2+ 10x + 2x+ 20)\)
\(= (x+1)[x(x+10)+2(x+10)]\)
\(= (x+ 1) (x+ 10) (x + 2)\)
(iv) \( 2 y^{3}+y^{2}-2 y-1 \)
设 \(f(y)=2 y^{3}+y^{2}-2 y-1\)
-2 的因数为 ±1 和 ±2。 [ \(y^3\) 系数和常数项的乘积 = 2×-1=-2]
通过试错法，我们得到：
\(f(1)=2(1)^{3}+ (1)^2-2(1)-1\)
$=2+1-2-1$
$=3-3$
$=0$
这意味着：
\(y-1\) 是 \(f(y)\) 的一个因数。
因此：
\(f(y)=2 y^{3}+y^{2}-2 y-1\)
\(= 2y^3 - 2y^2+ 3y^2 - 3y + y - 1\)
\(= 2y^2(y - 1) + 3y(y - 1)+1(y - 1)\)
\(= (y - 1) (2y^2 + 3y + 1)\)
\(= (y - 1)(2y^2 + 2y +y+1)\)
\(= (y - 1) [2y (y + 1) + 1 (y + 1)]\)
\(= (y - 1)(y+1)(2y+1)\)
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- \( (2 x-3)(x-5)=(x-3)^{2} \)
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