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法学因式分解
(i) x3−2x2−x+2
(ii) x3−3x2−9x−5
(iii) x3+13x2+32x+20
(iv) 2y3+y2−2y−1
解题步骤
我们需要对给定的表达式进行因式分解。
解答
(i) x3−2x2−x+2
设 f(x)=x3−2x2−x+2
2 的因数为 ±1 和 ±2。 [ x3 系数和常数项的乘积 = 1×2=2]
通过试错法，我们得到：
f(1)=(1)3−2(1)2−(1)+2
=1−2(1)−1+2
=3−3
=0
这意味着：
x−1 是 f(x) 的一个因数。
因此：
f(x)=x3−2x2−x+2
=x3−x2−x2+x−2x+2
=x2(x−1)−x(x−1)−2(x−1)
=(x−1)(x2−x−2)
=(x−1)(x2−2x+x−2)
=(x−1)[x(x−2)+1(x−2)]
=(x−1)(x−2)(x+1)
(ii) x3−3x2−9x−5
设 f(x)=x3−3x2−9x−5
-5 的因数为 ±1 和 ±5。 [ x3 系数和常数项的乘积 = 1×-5=-5]
通过试错法，我们得到：
f(5)=(5)3−3(5)2−9(5)−5
=125−3(25)−45−5
=125−75−50
=125−125
=0
这意味着：
x−5 是 f(x) 的一个因数。
因此：
f(x)=x3−3x2−9x−5
=x3−5x2+2x2−10x+x−5
=x2(x−5)+2x(x−5)+1(x−5)
=(x−5)(x2+2x+1)
=(x−5)(x2+x+x+1)
=(x−5)[x(x+1)+1(x+1)]
=(x−5)(x+1)(x+1)
=(x−5)(x+1)2
(iii) x3+13x2+32x+20
设 f(x)=x3+13x2+32x+20
20 的因数为 ±1, ±2, ±4, ±5, ±10 和 ±20。 [ x3 系数和常数项的乘积 = 1×20=20]
通过试错法，我们得到：
f(−1)=(−1)3+13(−1)2+32(−1)+20
=−1+13(1)−32+20
=−33+13+20
=33−33
=0
这意味着：
x−(−1)=x+1 是 f(x) 的一个因数。
因此：
f(x)=x3+13x2+32x+20
=x3+x2+12x2+12x+20x+20
=x2(x+1)+12x(x+1)+20(x+1)
=(x+1)(x2+12x+20)
=(x+1)(x2+10x+2x+20)
=(x+1)[x(x+10)+2(x+10)]
=(x+1)(x+10)(x+2)
(iv) 2y3+y2−2y−1
设 f(y)=2y3+y2−2y−1
-2 的因数为 ±1 和 ±2。 [ y3 系数和常数项的乘积 = 2×-1=-2]
通过试错法，我们得到：
f(1)=2(1)3+(1)2−2(1)−1
=2+1−2−1
=3−3
=0
这意味着：
y−1 是 f(y) 的一个因数。
因此：
f(y)=2y3+y2−2y−1
=2y3−2y2+3y2−3y+y−1
=2y2(y−1)+3y(y−1)+1(y−1)
=(y−1)(2y2+3y+1)
=(y−1)(2y2+2y+y+1)
=(y−1)[2y(y+1)+1(y+1)]
=(y−1)(y+1)(2y+1)
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