验证:(i) x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)
(ii) x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)
待办事项
我们需要验证
(i) x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)
(ii)
x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)解答
(i) 我们知道:
(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)
这意味着:
x3+y3=(x+y)3−3xy(x+y)
提取公因式(x+y),我们得到:
x3+y3=(x+y)[(x+y)2−3xy]
x3+y3=(x+y)[(x2+y2+2xy)−3xy] [因为 (x+y)2=x2+2xy+y2]
x3+y3=(x+y)(x2+y2+2xy−3xy)
x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)
因此验证完毕。
(ii) 我们知道:
(x−y)3=x3−y3−3xy(x−y)
这意味着:
x3−y3=(x−y)3+3xy(x−y)
提取公因式(x−y),我们得到:
x3−y3=(x−y)[(x−y)2+3xy]
x3−y3=(x−y)[(x2+y2−2xy)+3xy] [因为 (x−y)2=x2−2xy+y2]
x3−y3=(x−y)(x2+y2−2xy+3xy)
x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)
因此验证完毕。
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