验证：(i) \( x^{3}+y^{3}=(x+y)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right) \)
(ii) \( x^{3}-y^{3}=(x-y)\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) \)

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待办事项

我们需要验证

(i) \( x^{3}+y^{3}=(x+y)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right) \)

(ii) \( x^{3}-y^{3}=(x-y)\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) \)

解答

(i) 我们知道：

$(x+y)^3 = x^3+y^3+3xy(x+y)$

这意味着：

$x^3+y^3 = (x+y)^3-3xy(x+y)$

提取公因式$(x+y)$，我们得到：

$x^3+y^3 = (x+y)[(x+y)^2-3xy]$

$x^3+y^3 = (x+y)[(x^2+y^2+2xy)-3xy]$           [因为 $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$]

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2+y^2+2xy-3xy)$

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$

因此验证完毕。   

 (ii) 我们知道：

$(x-y)^3 = x^3-y^3-3xy(x-y)$

这意味着：

$x^3-y^3 = (x-y)^3+3xy(x-y)$

提取公因式$(x-y)$，我们得到：

$x^3-y^3 = (x-y)[(x-y)^2+3xy]$

$x^3-y^3 = (x-y)[(x^2+y^2-2xy)+3xy]$           [因为 $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$]

$x^3-y^3 = (x-y)(x^2+y^2-2xy+3xy)$

$x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$

因此验证完毕。