利用因式定理判断下列每种情况下 $g(x)$ 是否为 $p(x)$ 的因式
(i) $p(x)=2 x^{3}+x^{2}-2 x-1, g(x)=x+1$
(ii) $p(x)=x^{3}+3 x^{2}+3 x+1, g(x)=x+2$
(iii) $p(x)=x^{3}-4 x^{2}+x+6, g(x)=x-3$

解题步骤

我们需要判断在每种给定情况下，多项式 $g(x)$ 是否为多项式 $p(x)$ 的因式。

解答

我们知道，如果 $g(x)$ 是 $p(x)$ 的因式，则余数将为零。

(i) $p(x)=2 x^{3}+x^{2}-2 x-1, g(x)=x+1=x-(-1)$

因此，余数将为 $p(-1)$。

$p(-1) = 2 (-1)^{3}+(-1)^{2}-2 (-1)-1 = 0$

$= 2(-1)+1 +2-1$

$=-2+3-1$

$=0$

因此，$g(x)$ 是多项式 $p(x)$ 的因式。 

 (ii) $p(x)=x^{3}+3 x^{2}+3 x+1, g(x)=x+2=x-(-2)$

因此，余数将为 $p(-2)$。

$p(-2) = (-2)^{3}+3 (-2)^{2}+3 (-2)+1 = -8 + 12 -6 + 1 = -1$

$= -8+3(4)-6+1$

$=-14+12+1$

$=-14+13$

$=-1$

$≠ 0$

因此，$g(x)$ 不是多项式 $p(x)$ 的因式。 

(iii) $p(x)=x^{3}-4 x^{2}+x+6, g(x)=x-3$

因此，余数将为 $p(3)$。

$p(3) =(3)^{3}-4 (3)^{2}+(3)+6 = 27 - 36 + 3 + 6 = 0$

$= 27-4(9) +3+6$

$=36-36$

$=0$

因此，$g(x)$ 是多项式 $p(x)$ 的因式。 

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更新于：2022年10月10日

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