如果在以下每种情况下 \( x-1 \) 都是 \( p(x) \) 的因式，求 \( k \) 的值
(i) \( p(x)=x^{2}+x+k \)
(ii) \( p(x)=2 x^{2}+k x+\sqrt{2} \)
(iii) \( p(x)=k x^{2}-\sqrt{2} x+1 \)
(iv) \( p(x)=k x^{2}-3 x+k \)

需要做的事情

我们必须在给定的每种情况下找到 \( k \) 的值，如果 \( x-1 \) 是 \( p(x) \) 的因式。

解答

因式定理

因式定理指出，如果 $p(x)$ 是一个度数为 $n >$ 或等于 $1$ 的多项式，并且 $a$ 是任何实数，那么 $x-a$ 是 $p(x)$ 的因式，当且仅当 $p(a)=0$。

因此，

(i) \( p(x)=x^{2}+x+k \)

$x-1$ 是 $p(x) =x^{2}+x+k$ 的因式。

$p(1) = (1)^2+1+k = 0$

$1+1+k = 0$

$k+2=0$

$k = -2$

$k$ 的值为 $-2$。

(ii) \( p(x)=2 x^{2}+k x+\sqrt{2} \)

$x-1$ 是 $p(x) =2 x^{2}+k x+\sqrt{2}$ 的因式。

$p(1) = 2 (1)^{2}+k (1)+\sqrt{2} = 0$

$2(1)+k+\sqrt2 = 0$

$k+2+\sqrt2=0$

$k = -(2+\sqrt2)$

$k$ 的值为 $-(2+\sqrt2)$。

(iii) \( p(x)=k x^{2}-\sqrt{2} x+1 \)

$x-1$ 是 $p(x) =k x^{2}-\sqrt{2} x+1$ 的因式。

$p(1) = k (1)^{2}-\sqrt{2} (1)+1 = 0$

$k(1)-\sqrt2+1 = 0$

$k+1-\sqrt2=0$

$k = \sqrt2-1$

$k$ 的值为 $\sqrt2-1$。

(iv) \( p(x)=k x^{2}-3 x+k \)

$x-1$ 是 $p(x) =k x^{2}-3 x+k$ 的因式。

$p(1) =k (1)^{2}-3(1)+k= 0$

$k(1)-3+k = 0$

$2k-3=0$

$2k = 3$

$k=\frac{3}{2}$

$k$ 的值为 $\frac{3}{2}$。

更新于: 2022 年 10 月 10 日

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