如果在以下每种情况下 x−1 都是 p(x) 的因式,求 k 的值
(i) p(x)=x2+x+k
(ii) p(x)=2x2+kx+√2
(iii) p(x)=kx2−√2x+1
(iv) p(x)=kx2−3x+k
需要做的事情
我们必须在给定的每种情况下找到 k 的值,如果 x−1 是 p(x) 的因式。
解答
因式定理
因式定理指出,如果 p(x) 是一个度数为 n> 或等于 1 的多项式,并且 a 是任何实数,那么 x−a 是 p(x) 的因式,当且仅当 p(a)=0。
因此,
(i) p(x)=x2+x+k
x−1 是 p(x)=x2+x+k 的因式。
p(1)=(1)2+1+k=0
1+1+k=0
k+2=0
k=−2
k 的值为 −2。
(ii) p(x)=2x2+kx+√2
x−1 是 p(x)=2x2+kx+√2 的因式。
p(1)=2(1)2+k(1)+√2=0
2(1)+k+√2=0
k+2+√2=0
k=−(2+√2)
k 的值为 −(2+√2)。
(iii) p(x)=kx2−√2x+1
x−1 是 p(x)=kx2−√2x+1 的因式。
p(1)=k(1)2−√2(1)+1=0
k(1)−√2+1=0
k+1−√2=0
k=√2−1
k 的值为 √2−1。
(iv) p(x)=kx2−3x+k
x−1 是 p(x)=kx2−3x+k 的因式。
p(1)=k(1)2−3(1)+k=0
k(1)−3+k=0
2k−3=0
2k=3
k=32
k 的值为 32。
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