求解 $k$ 的值，使得 $x^{2}+2 x+k$ 是 $2 x^{4}+x^{3}-14 x^{2}+5 x+6$ 的一个因子。同时求出这两个多项式的全部零点。

已知

$x^{2}+2 x+k$ 是多项式 $f(x)=2 x^{4}+x^{3}-14 x^{2}+5 x+6$ 的一个因子，当 $f(x)$ 除以 $x^{2}+2 x+k$ 时，余数为零。

待求解

我们需要求解 $k$ 的值，并求出这两个多项式的全部零点。

解： 

使用长除法将 $f(x)=2 x^{4}+x^{3}-14 x^{2}+5 x+6$ 除以 $x^{2}+2 x+k$。

$x^2+2x+k$)$2x^4+x^3-14x^2+5x+6$($2x^2-3x-2(k+4)$

                        $2x^4+4x^3+2kx^2$

                  -----------------------------------

                                  $-3x^3-2x^2(k+7)+5x+6$

                                 $-3x^3-6x^2          -3kx$

                 --------------------------------------------

                                           $-2x^2(k+4)+x(5+3k)+6$

                                          $-2x^2(k+4)-4x(k+4)-2k(k+4)$

                                -------------------------------------------------

                                                                $x(7k+21)+(2k^2+8k+6)$

余数 $=x(7 k+21)+\left(2 k^{2}+8 k+6\right)$，商 $=2 x^{2}-3 x-2(k+4)$。如果它是因子，则余数 $=0$

$\Rightarrow x(7 k+21)+2\left(k^{2}+4 k+3\right)=0$ 对所有 $x$ 成立。

$\Rightarrow  7 k+21=0$ 且 $k^{2}+4 k+3=0$

$\Rightarrow 7(k+3)=0$ 且 $(k+1)(k+3)=0$

$\Rightarrow k+3=0$

$\Rightarrow k=-3$

将 $k$ 的值代入 $x^{2}+2 x+k$，得到：

$x^{2}+2 x-3=(x+3)(x-1)$ 作为除数。

它的零点是 $-3$ 和 1。

因此，$f(x)$ 的两个零点是 $-3$ 和 $1$。

对于 $k=-3$，我们得到：

商 $= 2x^{2}-3 x-2$

$=2 x^{2}-4 x+x-2$

$=2 x(x-2)+1(x-2)$

$=(x-2)(2 x+1)$

除数 $=x^{2}+2 x-3$

$=x^{2}+3 x-x-3$

$=x(x+3)-1(x+3)$

$=(x-1)(x+3)$

因此，$f(x)=$商$\times$除数

$\Rightarrow f(x)=2 x^{4}+x^{3}-14 x^{2}+5 x+6$

$=(x-2)(2 x+1)(x-1)(x+3)$ 

因此，$f(x)$ 的零点是 $2,\frac{-1}{2},1$ 和 $-3$. 

教程点

更新于：2022年10月10日

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