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法学求解 \( k \) 的值，使得 \( x^{2}+2 x+k \) 是 \( 2 x^{4}+x^{3}-14 x^{2}+5 x+6 \) 的一个因子。同时求出这两个多项式的全部零点。
已知
\( x^{2}+2 x+k \) 是多项式 \( f(x)=2 x^{4}+x^{3}-14 x^{2}+5 x+6 \) 的一个因子，当 \( f(x) \) 除以 \( x^{2}+2 x+k \) 时，余数为零。
待求解
我们需要求解 $k$ 的值，并求出这两个多项式的全部零点。
解：
使用长除法将 \( f(x)=2 x^{4}+x^{3}-14 x^{2}+5 x+6 \) 除以 \( x^{2}+2 x+k \)。
$x^2+2x+k$)$2x^4+x^3-14x^2+5x+6$($2x^2-3x-2(k+4)$
$2x^4+4x^3+2kx^2$
-----------------------------------
$-3x^3-2x^2(k+7)+5x+6$
$-3x^3-6x^2 -3kx$
--------------------------------------------
$-2x^2(k+4)+x(5+3k)+6$
$-2x^2(k+4)-4x(k+4)-2k(k+4)$
-------------------------------------------------
$x(7k+21)+(2k^2+8k+6)$
余数 \( =x(7 k+21)+\left(2 k^{2}+8 k+6\right) \)，商 \( =2 x^{2}-3 x-2(k+4) \)。如果它是因子，则余数 \( =0 \)
$\Rightarrow x(7 k+21)+2\left(k^{2}+4 k+3\right)=0$ 对所有 $x$ 成立。
$\Rightarrow 7 k+21=0$ 且 $k^{2}+4 k+3=0$
$\Rightarrow 7(k+3)=0$ 且 $(k+1)(k+3)=0$
$\Rightarrow k+3=0$
$\Rightarrow k=-3$
将 \( k \) 的值代入 \( x^{2}+2 x+k \)，得到：
\( x^{2}+2 x-3=(x+3)(x-1) \) 作为除数。
它的零点是 \( -3 \) 和 1。
因此，\( f(x) \) 的两个零点是 \( -3 \) 和 \( 1 \)。
对于 \( k=-3 \)，我们得到：
商 $= 2x^{2}-3 x-2$
$=2 x^{2}-4 x+x-2$
$=2 x(x-2)+1(x-2)$
$=(x-2)(2 x+1)$
除数 $=x^{2}+2 x-3$
$=x^{2}+3 x-x-3$
$=x(x+3)-1(x+3)$
$=(x-1)(x+3)$
因此，$f(x)=$商$\times$除数
$\Rightarrow f(x)=2 x^{4}+x^{3}-14 x^{2}+5 x+6$
$=(x-2)(2 x+1)(x-1)(x+3)$
因此，\( f(x) \) 的零点是 \( 2,\frac{-1}{2},1 \) 和 \( -3 \).
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