确定以下哪个多项式具有\( (x+1) \)作为因子
(i) \( x^{3}+x^{2}+x+1 \)
(ii) \( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 \)

已知

给定的项是$(x + 1)$。

给定的多项式是

(i) \( x^{3}+x^{2}+x+1 \)
(ii) \( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 \)

求

我们必须检查给定的多项式是否具有$(x + 1)$作为因子。

解

根据因式定理，

如果$(x+1)$是给定多项式$P(x)$的因子，则当$x= -1$时，$p(x)=0$。

 (i) $x^{3}+x^{2}+x+1$

 设$p(x)= x^{3}+x^{2}+x+1$

将$x= -1$代入

$p(−1)=(−1)^3+(−1)^2+(−1)+1 =−1+1−1+1=0$

因此，根据因式定理，$x+1$是$x^{3}+x^{2}+x+1$的因子。 

(ii) $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 $

 设$p(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 $

将$x= -1$代入

$p(−1)=(−1)^4+(-1)^3+(−1)^2+(−1)+1 =1−1+1−1+1=1$

因此，根据因式定理，$x+1$不是$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$的因子。 

教程点

更新于: 2022年10月10日

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