求解k的值，使得$x^{2}+2 x+k$是$2 x^{4}+x^{3}-14 x^{2}+5 x+6$的一个因子。同时，求出这两个多项式的所有零点。

已知

$x^{2}+2 x+k$是多项式$f(x)=2 x^{4}+x^{3}-14 x^{2}+5 x+6$的因子，当$f(x)$被$x^{2}+2 x+k$除时，余数为零。

待求解

我们需要求解k的值，并求出这两个多项式的所有零点。
解法
使用长除法，将$f(x)=2 x^{4}+x^{3}-14 x^{2}+5 x+6$除以$x^{2}+2 x+k$。
方法。

$x^2+2x+k)$ $2x^4+x^3-14x^2+5x+6$ ($2x^2-3x-2(k+4)$

                        $2x^4+4x^3+2kx^2$

                    -----------------------------------

                                  $-3x^3-2x^2(k+7)+5x+6$

                                $-3x^3-6x^2          -3kx$

                   --------------------------------------------

                                          $-2x^2(k+4)+x(5+3k)+6$

                                          $-2x^2(k+4)-4x(k+4)-2k(k+4)$

                                -------------------------------------------------

                                                                $x(7k+21)+(2k^2+8k+6)$
余数$=x(7 k+21)+\left(2 k^{2}+8 k+6\right)$，商$=2 x^{2}-3 x-2(k+4)$。
如果它是因子，则余数$=0$
$\Rightarrow x(7 k+21)+2\left(k^{2}+4 k+3\right)=0$ 对所有x都成立。
$\Rightarrow  7 k+21=0$ 且 $k^{2}+4 k+3=0$
$\Rightarrow 7(k+3)=0$ 且 $(k+1)(k+3)=0$
$\Rightarrow k+3=0$

$\Rightarrow k=-3$
将k的值代入$x^{2}+2 x+k$，得到：

$x^{2}+2 x-3=(x+3)(x-1)$作为除数。

其零点是$-3$和1。

因此，$f(x)$的两个零点是$-3$和$1$。

对于$k=-3$，我们得到：
商 $= 2x^{2}-3 x-2=2 x^{2}-4 x+x-2$

$=2 x(x-2)+1(x-2)$

$=(x-2)(2 x+1)$
除数 $=x^{2}+2 x-3$

$=x^{2}+3 x-x-3$

$=x(x+3)-1(x+3)$

$=(x-1)(x+3)$
因此，
$f(x)$=商$\times$除数
$\Rightarrow f(x)=2 x^{4}+x^{3}-14 x^{2}+5 x+6$

$=(x-2)(2 x+1)(x-1)(x+3)$
因此，$f(x)$的零点是$2,\frac{-1}{2},1$和$-3$。

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更新于：2022年10月10日

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