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法学求解k的值，使得\( x^{2}+2 x+k \)是\( 2 x^{4}+x^{3}-14 x^{2}+5 x+6 \)的一个因子。同时，求出这两个多项式的所有零点。
已知
\( x^{2}+2 x+k \)是多项式\( f(x)=2 x^{4}+x^{3}-14 x^{2}+5 x+6 \)的因子，当\( f(x) \)被\( x^{2}+2 x+k \)除时，余数为零。
待求解
我们需要求解k的值，并求出这两个多项式的所有零点。
解法
使用长除法，将\( f(x)=2 x^{4}+x^{3}-14 x^{2}+5 x+6 \)除以\( x^{2}+2 x+k \)。
方法。
\(x^2+2x+k)\) \(2x^4+x^3-14x^2+5x+6\) (\(2x^2-3x-2(k+4)\)
\(2x^4+4x^3+2kx^2\)
-----------------------------------
\(-3x^3-2x^2(k+7)+5x+6\)
\(-3x^3-6x^2 -3kx\)
--------------------------------------------
\(-2x^2(k+4)+x(5+3k)+6\)
\(-2x^2(k+4)-4x(k+4)-2k(k+4)\)
-------------------------------------------------
\(x(7k+21)+(2k^2+8k+6)\)
余数\( =x(7 k+21)+\left(2 k^{2}+8 k+6\right) \)，商\( =2 x^{2}-3 x-2(k+4) \)。
如果它是因子，则余数\( =0 \)
\( \Rightarrow x(7 k+21)+2\left(k^{2}+4 k+3\right)=0 \) 对所有x都成立。
\( \Rightarrow 7 k+21=0 \) 且 \( k^{2}+4 k+3=0 \)
\( \Rightarrow 7(k+3)=0 \) 且 \( (k+1)(k+3)=0 \)
\( \Rightarrow k+3=0 \)
\( \Rightarrow k=-3 \)
将k的值代入\( x^{2}+2 x+k \)，得到：
\( x^{2}+2 x-3=(x+3)(x-1) \)作为除数。
其零点是\( -3 \)和1。
因此，\( f(x) \)的两个零点是\( -3 \)和\( 1 \)。
对于\( k=-3 \)，我们得到：
商 \(= 2x^{2}-3 x-2=2 x^{2}-4 x+x-2\)
\( =2 x(x-2)+1(x-2) \)
\( =(x-2)(2 x+1) \)
除数 \(=x^{2}+2 x-3\)
\( =x^{2}+3 x-x-3 \)
\( =x(x+3)-1(x+3) \)
\( =(x-1)(x+3) \)
因此，
\( f(x) \)=商\( \times \)除数
\( \Rightarrow f(x)=2 x^{4}+x^{3}-14 x^{2}+5 x+6 \)
\( =(x-2)(2 x+1)(x-1)(x+3) \)
因此，\( f(x) \)的零点是\( 2,\frac{-1}{2},1 \)和\( -3 \)。
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