检查多项式（$x^{3} \ +\ 3x^{2} \ +\ 3x\ +\ 1$）是否能被（$x\ +\ 1$）整除。

已知：$x^{3} \ +\ 3x^{2} \ +\ 3x\ +\ 1$

要检查：我们需要检查多项式（$x^{3} \ +\ 3x^{2} \ +\ 3x\ +\ 1$）是否能被（$x\ +\ 1$）整除。

解答

如果 $x\ +\ 1$ 是一个因数，那么 $x\ =\ -1$ 应该是多项式 $x^{3} \ +\ 3x^{2} \ +\ 3x\ +\ 1$ 的一个零点。

将 $x\ =\ -1$ 代入 $x^{3} \ +\ 3x^{2} \ +\ 3x\ +\ 1$

$x^{3} \ +\ 3x^{2} \ +\ 3x\ +\ 1$

$=\ (-1)^{3} \ +\ 3(-1)^{2} \ +\ 3(-1)\ +\ 1$

$=\ -1\ +\ 3(1) \ -\ 3\ +\ 1$

$=\ -1\ +\ 3 \ -\ 2$

$=\ 0$

很明显，$x\ +\ 1$ 是 $x^{3} \ +\ 3x^{2} \ +\ 3x\ +\ 1$ 的一个因数。

因此，多项式（$x^{3} \ +\ 3x^{2} \ +\ 3x\ +\ 1$）能被（$x\ +\ 1$）整除。

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更新于： 2022年10月10日

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