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法律如果 $x^2 - 4$ 是 $ax^4 + 2x^3 - 3x^2 + bx - 4$ 的因式，求 $a$ 和 $b$ 的值。
已知
给定的表达式为 $ax^4 + 2x^3 - 3x^2 + bx - 4$。
$(x^2 - 4)$ 是 $ax^4 + 2x^3 - 3x^2 + bx - 4$ 的因式。
要求
我们需要求出 $a$ 和 $b$ 的值。
解答
我们知道，
如果 $(x-m)$ 是 $f(x)$ 的根，则 $f(m)=0$。
$x^2-4=x^2-2^2$
$=(x+2)(x-2)$
这意味着，
$x+2$ 和 $x-2$ 是 $ax^4 + 2x^3 - 3x^2 + bx - 4$ 的因式。
因此，
$f(-2)=0$
$\Rightarrow a(-2)^4 + 2(-2)^3 - 3(-2)^2 + b(-2) - 4=0$
$\Rightarrow 16a+2(-8)-3(4)-2b-4=0$
$\Rightarrow 16a-2b-16-12-4=0$
$\Rightarrow 16a-2b-32=0$
$\Rightarrow 2(8a-b-16)=0$
$\Rightarrow b=8a-16$........(i)
$f(2)=0$
$\Rightarrow a(2)^4 + 2(2)^3 - 3(2)^2 + b(2) - 4=0$
$\Rightarrow 16a+2(8)-3(4)+2b-4=0$
$\Rightarrow 16a+2b+16-12-4=0$
$\Rightarrow 16a+2b+16-16=0$
$\Rightarrow 2(8a+b)=0$
$\Rightarrow 8a+(8a-16)=0$........[由 (i) 得]
$\Rightarrow 16a-16=0$
$\Rightarrow 16a=16$
$\Rightarrow a=1$
$\Rightarrow b=8(1)-16$
$\Rightarrow b=8-16=-8$
$a$ 和 $b$ 的值分别为 $1$ 和 $-8$。
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