已知$(x-2)$是$x^3 - 4x^2 + ax + b$和$x^3 - ax^2 + bx + 8$的公因式，求a和b的值。

已知：$(x-2)$是$x^3 - 4x^2 + ax + b$和$x^3 - ax^2 + bx + 8$的公因式。

求解：求a和b的值。

解

已知$(x-2)$是$x^3 - 4x^2 + ax + b$和$x^3 - ax^2 + bx + 8$的公因式

令$x-2=0$

$\Rightarrow x=2$，将此值代入$x^3 - 4x^2 + ax + b$。

$x^3 - 4x^2 + ax + b$

$\Rightarrow 2^3 - 4(2)^2 + a \times 2 + b = 0$

$\Rightarrow 8 - 16 + 2a + b = 0$

$\Rightarrow 2a + b - 8 = 0$

$\Rightarrow 2a + b = 8$ ....... $(i)$

再次，将$x=2$代入$x^3 - ax^2 + bx + 8$

$\Rightarrow 2^3 - a(2)^2 + b(2) + 8 = 0$

$\Rightarrow 8 - 4a + 2b + 8 = 0$

$\Rightarrow -4a + 2b = -16$ ....... $(ii)$

将$(i)$和$(ii)$相加：

$2a + b - 4a + 2b = 8 - 16$

$\Rightarrow 3b = -8$

$\Rightarrow b = -\frac{8}{3}$，将此值代入$(i)$

$2a - \frac{8}{3} = 8$

$\Rightarrow 2a = 8 + \frac{8}{3}$

$\Rightarrow 2a = \frac{32}{3}$

$\Rightarrow a = \frac{32}{3} \times \frac{1}{2}$

$\Rightarrow a = \frac{16}{3}$

因此，$a = \frac{16}{3}$，$b = -\frac{8}{3}$

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更新于：2022年10月10日

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