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法学已知$(x-2)$是$x^3 - 4x^2 + ax + b$和$x^3 - ax^2 + bx + 8$的公因式，求a和b的值。
已知：$(x-2)$是$x^3 - 4x^2 + ax + b$和$x^3 - ax^2 + bx + 8$的公因式。
求解：求a和b的值。
解
已知$(x-2)$是$x^3 - 4x^2 + ax + b$和$x^3 - ax^2 + bx + 8$的公因式
令$x-2=0$
$\Rightarrow x=2$，将此值代入$x^3 - 4x^2 + ax + b$。
$x^3 - 4x^2 + ax + b$
$\Rightarrow 2^3 - 4(2)^2 + a \times 2 + b = 0$
$\Rightarrow 8 - 16 + 2a + b = 0$
$\Rightarrow 2a + b - 8 = 0$
$\Rightarrow 2a + b = 8$ ....... $(i)$
再次，将$x=2$代入$x^3 - ax^2 + bx + 8$
$\Rightarrow 2^3 - a(2)^2 + b(2) + 8 = 0$
$\Rightarrow 8 - 4a + 2b + 8 = 0$
$\Rightarrow -4a + 2b = -16$ ....... $(ii)$
将$(i)$和$(ii)$相加：
$2a + b - 4a + 2b = 8 - 16$
$\Rightarrow 3b = -8$
$\Rightarrow b = -\frac{8}{3}$，将此值代入$(i)$
$2a - \frac{8}{3} = 8$
$\Rightarrow 2a = 8 + \frac{8}{3}$
$\Rightarrow 2a = \frac{32}{3}$
$\Rightarrow a = \frac{32}{3} \times \frac{1}{2}$
$\Rightarrow a = \frac{16}{3}$
因此，$a = \frac{16}{3}$，$b = -\frac{8}{3}$
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