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法学研究如果\( 2 x+3 \)和\( x+2 \)是多项式\( g(x)=2 x^{3}+a x^{2}+27 x+b \)的因式，求常数$a$和$b$的值。
已知
给定的多项式是 $g(x) = 2x^3 + ax^2 + 27x + b$。
\(2x + 3\) 和 \(x + 2\) 是多项式 \(g(x) = 2x^3 + ax^2 + 27x + b\) 的因式。
要求
我们需要求出常数 $a$ 和 $b$ 的值。
解
\(2x + 3\) 和 \(x + 2\) 是多项式 \(g(x) = 2x^3 + ax^2 + 27x + b\) 的因式。
当 $x = -2$ 时，
\(g(-2) = 2(-2)^3 + a(-2)^2 + 27(-2) + b = 0\)。
\(2(-8)+4a-54+b=0\)
\(4a + b - 70 = 0\)
\(4a + b = 70\)-----(i)
当 \(x = \frac{-3}{2}\) 时，
\(g(\frac{-3}{2}) = 2(\frac{-3}{2})^3 + a(\frac{-3}{2})^2 + 27(\frac{-3}{2}) + b = 0\)。
\(2(\frac{-27}{8})+\frac{9a}{4}-\frac{81}{2}+b=0\)
\(\frac{-27+9a-2(81)+4(b)}{4}=0\)
\(9a + 4b - 189 = 0\)
\(9a + 4b = 189\)----(ii)
为了解上述两个方程，我们将方程 (i) 乘以 4，以便消去 \(4b\)，首先求出 \(a\) 的值。
\(4(4a+b) = 4(70)\)
\(16a+4b = 280\) -----(iii)
现在，
方程 (iii) - 方程 (ii) 为：
\(16a+4b = 280\)
\(-(9a+4b = 189)\)
--------------------
\(7a = 91\)
\(a = \frac{91}{7}\)
\(a = 13\)
将 \(a = 13\) 代入方程 (i)
\(4(13)+b = 70\)
\(52+b =70\)
\(b = 70-52\)
\(b = 18\)。
\(a\) 的值为 13，\(b\) 的值为 18。
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