如果$2 x+3$和$x+2$是多项式$g(x)=2 x^{3}+a x^{2}+27 x+b$的因式，求常数$a$和$b$的值。

已知

给定的多项式是 $g(x) = 2x^3 + ax^2 + 27x + b$。

$2x + 3$ 和 $x + 2$ 是多项式 $g(x) = 2x^3 + ax^2 + 27x + b$ 的因式。

要求

我们需要求出常数 $a$ 和 $b$ 的值。

解

$2x + 3$ 和 $x + 2$ 是多项式 $g(x) = 2x^3 + ax^2 + 27x + b$ 的因式。

当 $x = -2$ 时，

$g(-2) = 2(-2)^3 + a(-2)^2 + 27(-2) + b = 0$。

$2(-8)+4a-54+b=0$

$4a + b - 70 = 0$

$4a + b = 70$-----(i)

当 $x = \frac{-3}{2}$ 时，

$g(\frac{-3}{2}) = 2(\frac{-3}{2})^3 + a(\frac{-3}{2})^2 + 27(\frac{-3}{2}) + b = 0$。

$2(\frac{-27}{8})+\frac{9a}{4}-\frac{81}{2}+b=0$

$\frac{-27+9a-2(81)+4(b)}{4}=0$

$9a + 4b - 189 = 0$

$9a + 4b = 189$----(ii)

为了解上述两个方程，我们将方程 (i) 乘以 4，以便消去 $4b$，首先求出 $a$ 的值。

$4(4a+b) = 4(70)$

$16a+4b = 280$ -----(iii)

现在，

方程 (iii) - 方程 (ii) 为：

$16a+4b = 280$

$-(9a+4b = 189)$

--------------------

$7a = 91$

$a = \frac{91}{7}$

$a = 13$

将 $a = 13$ 代入方程 (i)

$4(13)+b = 70$

$52+b =70$

$b = 70-52$

$b = 18$。

$a$ 的值为 13，$b$ 的值为 18。

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更新于: 2022年10月10日

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