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法学已知$x + 1$和$x + 2$是$x^3 + 3x^2 - 2 \alpha x + \beta$的因式，求$\alpha$和$\beta$的值。
已知
已知表达式为$x^3 + 3x^2 - 2 \alpha x + \beta$。
$x + 1$和$x + 2$是$x^3 + 3x^2 - 2 \alpha x + \beta$的因式。
解题步骤
我们需要求出$\alpha$和$\beta$的值。
解答
我们知道：
如果$(x-m)$是$f(x)$的根，则$f(m)=0$。
$x+1$和$x+2$是$x^3 + 3x^2 - 2 \alpha x + \beta$的因式。
因此：
$f(-1)=0$
$\Rightarrow (-1)^3 + 3(-1)^2 - 2\alpha(-1) + \beta=0$
$\Rightarrow -1+3+2\alpha+\beta=0$
$\Rightarrow \beta=-2\alpha-2$........(i)
$f(-2)=0$
$\Rightarrow (-2)^3 + 3(-2)^2 - 2\alpha(-2) + \beta=0$
$\Rightarrow 4\alpha + \beta-8+12=0$
$\Rightarrow 4\alpha + (-2\alpha-2) -8+12=0$ [由(i)式]
$\Rightarrow 2\alpha+2=0$
$\Rightarrow 2\alpha=-2$
$\Rightarrow \alpha=-1$
$\Rightarrow \beta=-2(-1)-2$
$\Rightarrow \beta=0$
$\alpha$和$\beta$的值分别为$-1$和$0$。
更新于：2022年10月10日
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