多项式 \( f(x)=x^{2}-5 x+k \) 的零点为 \( \alpha \) 和 \( \beta \)，且 \( \alpha-\beta=1 \)。求 \( 4 k \) 的值。

已知

$α$ 和 $β$ 是二次多项式 \( f(x)=x^{2}-5 x+k \) 的零点，且 \( \alpha-\beta=1 \)。

求解

我们需要求出 \( 4 k \) 的值。

解： 

我们知道， 

二次方程的标准形式为 $ax^2+bx+c=0$，其中 a、b 和 c 为常数，且 $a≠0$。

将给定方程与二次方程的标准形式进行比较， 

$a=1$，$b=-5$ 和 $c=k$

根的和 $= α+β = \frac{-b}{a} = \frac{-(-5)}{1} = 5$.......(i)

$\alpha-\beta=1$...........(ii)

将 (i) 和 (ii) 相加，得到：

$\alpha+\beta+\alpha-\beta=5+1$

$2\alpha=6$

$\alpha=3$

$\Rightarrow \beta=\alpha-1=3-1=2$

根的积 $= αβ = \frac{c}{a} = \frac{k}{1} = k$

$\Rightarrow 3\times2=k$

$k=6$

$\Rightarrow 4k=4(6)=24$

$4k$ 的值为 $24$。

教程点

更新于： 2022 年 10 月 10 日

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