如果$\alpha,\ \beta$是方程$ax^2+bx+c=0$的根，则求方程$ax^2+bx(x+1)+c(x+1)^2=0$的根。

已知：$\alpha,\ \beta$是方程$ax^2+bx+c=0$的根。

求解：求方程$ax^2+bx(x+1)+c(x+1)^2=0$的根。

解

如题所述，$\alpha$和$\beta$是方程$ax^2+bx+c=0$的根。

$\Rightarrow \alpha+\beta=-\frac{b}{a}$ 和 $\alpha\beta=\frac{c}{a}$

现在，方程为$ax^2+bx(x+1)+c(x+1)^2=0$。

设$p$和$q$是方程的根。

$\Rightarrow ax^2+bx^2+bx+cx^2+2cx+c=0$

$\Rightarrow ( a+b+c)x^2+( b+2c)x+c=0$

$\Rightarrow$ 根的和 $p+q=-\frac{b+2c}{a+b+c}$

$\Rightarrow p+q=-\frac{\frac{b}{a}+\frac{2c}{a}}{\frac{a}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}$

$\Rightarrow p+q=-\frac{-( \alpha+\beta)+2\alpha\beta}{1-( \alpha+\beta)+\alpha\beta}$

$\Rightarrow p+q=\frac{\alpha+\beta-2\alpha\beta}{1-( \alpha+\beta)+\alpha\beta}$

$\Rightarrow p+q=\frac{\alpha-\alpha\beta+\beta-\alpha\beta}{1-\alpha-\beta+\alpha\beta}$

$\Rightarrow p+q=\frac{\alpha( 1-\beta)+\beta( 1-\alpha)}{( 1-\alpha)( 1-\beta)}$

$\Rightarrow p+q=\frac{\alpha( 1-\beta)}{( 1-\alpha)( 1-\beta)}+\frac{\beta( 1-\alpha)}{( 1-\alpha)( 1-\beta)}$

$\Rightarrow p+q=\frac{\alpha}{1-\alpha}+\frac{\beta}{1-\beta}\ .........\ ( i)$

以及根的积 $pq=\frac{c}{a+b+c}$

$\Rightarrow pq=\frac{\frac{c}{a}}{\frac{a}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}$

$\Rightarrow pq=\frac{\alpha\beta}{1-( \alpha+\beta)+\alpha\beta}$

$\Rightarrow pq=\frac{\alpha\beta}{( 1-\alpha)( 1-\beta)}$

$\Rightarrow pq=\frac{\alpha}{1-\alpha}.\frac{\beta}{1-\beta}\ .......\ ( ii)$

从$( i)$和$( ii)$

$p=\frac{\alpha}{1-\alpha}$ 和 $q=\frac{\beta}{1-\beta}$

因此，方程$ax^2+bx(x+1)+c(x+1)^2=0$的根为$p=\frac{\alpha}{1-\alpha}$ 和 $q=\frac{\beta}{1-\beta}$。

教程点

更新于： 2022年10月10日

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