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法学研究求使二次方程$(3k + 1)x^2 + 2(k + 1)x + 1 = 0$具有相等根的k值。并求出这些根。
已知
已知二次方程为$(3k + 1)x^2 + 2(k + 1)x + 1 = 0$。
待求解
我们必须求出使给定二次方程具有相等根的k值。
解
$(3k + 1)x^2 + 2(k + 1)x + 1 = 0$
将给定的二次方程与二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0$比较，得到：
$a=3k+1, b=2(k+1)$ 和 $c=1$。
二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式为$D=b^2-4ac$。
$D=[2(k+1)]^2-4(3k+1)(1)$
$D=4(k+1)^2-4(3k+1)$
$D=4(k^2+2k+1)-12k-4$
$D=4k^2+8k+4-12k-4$
$D=4k^2-4k$
如果$D=0$，则给定的二次方程具有相等根。
因此，
$4k^2-4k=0$
$4k(k-1)=0$
$4k=0$ 或 $k-1=0$
$k=0$ 或 $k=1$
k的值为$0$和$1$。
对于$k = 0$，
$(3k + 1)x^2 + 2(k + 1)x + 1 = 0$
$(3(0) + 1)x^2 + 2(0 + 1)x + 1 = 0$
$x^2 + 2x + 1 = 0$
$(x + 1)^2 = 0$
$x+1=0$
$x=-1$
因此，对于$k=0$，给定二次方程的根为$-1$和$-1$。
对于$k = 1$，
$(3k + 1)x^2 + 2(k + 1)x + 1 = 0$
$(3(1) + 1)x^2 + 2(1 + 1)x + 1 = 0$
$4x^2 + 4x + 1 = 0$
$(2x + 1)^2 = 0$
$2x+1=0$
$2x=-1$
$x=\frac{-1}{2}$
因此，对于$k=1$，给定二次方程的根为$\frac{-1}{2}$和$\frac{-1}{2}$。
更新于：2022年10月10日
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