求方程 $x^{2}+k( 2x+k-1)+2=0$ 有实数且相等根时 $k$ 的值。

已知：方程 $x^{2}+k( 2x+k-1)+2=0$ 有实数且相等根。

要求：求 $k$ 的值。

解答：

已知方程 $x^{2}+k( 2x+k-1)+2=0$

$\Rightarrow x^{2}+2kx+k^{2}-k+2=0$

$\Rightarrow a=1,\ b=2k\ 和\ c=k^{2}-k+2$

对于相等根，判别式 $D=0$

$\Rightarrow b^{2}-4ac=0$

$\Rightarrow ( 2k)^{2}-4\times1\times( k^{2}-k+2)$

$\Rightarrow 4k^{2}-4k^{2}+4k-8=0$

$\Rightarrow 4k-8=0$

$\Rightarrow 4k=8$

$\Rightarrow k=\frac{8}{4}$

$\Rightarrow k=2$

因此，当 $k=2$ 时，该方程有实数且相等根。