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求使二次方程 $(k + 4)x^{2} + ( k+1)x+1=0$ 具有相等根的 k 的值。并求出这些根。

学术数学 NCERT 10 年级

已知：二次方程 (k + 4)x

$^{2}$ + ( k+1)x+1=0 具有相等根。也求出这些

要求：求使给定二次方程具有相等根的 k 的值。

解

给定方程为：

$( k+4) x^{2} +( k+1) x+1=0$

将其与标准二次方程

$ax^{2} +bx+c=0$ 进行比较

$a=k+4,\ b=k+1\ 和\ c=1$

对于任何二次方程的相等根，其判别式应为零。

$D=0$

或

$b^{2} -4ac=0$

$\Rightarrow \ ( k+1)^{2} -4\times ( k+4) \times 1=0$

$\Rightarrow k^{2} +1+2k-4k-16=0$

$\Rightarrow k^{2} -2k-15=0$

$\Rightarrow k^{2} -5k+3k-15=0$

$\Rightarrow k( k-5) +3( k-5) =0$

$\Rightarrow ( k-5)( k+3) =0$

如果

$k-5=0$

$\Rightarrow k=5$

如果

$k+3=0$

$\Rightarrow k=-3$

因此

$k=5,\ -3$

如果

$k=5$ ，则方程变为：

$( 5+4) x^{2} +( 5+1) x+1=0$

$\Rightarrow 9x^{2} +6x+1=0$

$\Rightarrow 9x^{2} +3x+3x+1=0$

$\Rightarrow 3x( 3x+1) +( 3x+1) =0$

$\Rightarrow ( 3x+1)( 3x+1) =0$

如果

$3x+1=0$

$\Rightarrow x=-\frac{1}{3}$

如果

$k=-3$ ，则方程变为：

$( -3+4) x^{2} +( -3+1) x+1=0$

$x^{2} -2x+1=0$

$\Rightarrow x^{2} -x-x+1=0$

$\Rightarrow x( x-1) -( x-1) =0$

$\Rightarrow ( x-1)( x-1) =0$

如果

$x-1=0$

$\Rightarrow x=1$

对于 k=5 或 -3 的值，给定的二次方程具有相等根。

并且该方程有两个相等的根

$-\frac{1}{3}$ 和 1。

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更新于： 2022 年 10 月 10 日

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