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法律研究求使二次方程 $(k + 4)x^{2} + ( k+1)x+1=0 $ 具有相等根的 k 的值。并求出这些根。
已知：二次方程 (k + 4)x$^{2}$ + ( k+1)x+1=0 具有相等根。也求出这些
要求：求使给定二次方程具有相等根的 k 的值。
解
给定方程为：
$( k+4) x^{2} +( k+1) x+1=0$
将其与标准二次方程 $ax^{2} +bx+c=0$ 进行比较
$a=k+4,\ b=k+1\ 和\ c=1$
对于任何二次方程的相等根，其判别式应为零。
$D=0$
或 $b^{2} -4ac=0$
$\Rightarrow \ ( k+1)^{2} -4\times ( k+4) \times 1=0$
$\Rightarrow k^{2} +1+2k-4k-16=0$
$\Rightarrow k^{2} -2k-15=0$
$\Rightarrow k^{2} -5k+3k-15=0$
$\Rightarrow k( k-5) +3( k-5) =0$
$\Rightarrow ( k-5)( k+3) =0$
如果 $k-5=0$
$\Rightarrow k=5$
如果 $k+3=0$
$\Rightarrow k=-3$
因此 $k=5,\ -3$
如果 $k=5$，则方程变为：
$( 5+4) x^{2} +( 5+1) x+1=0$
$\Rightarrow 9x^{2} +6x+1=0$
$\Rightarrow 9x^{2} +3x+3x+1=0$
$\Rightarrow 3x( 3x+1) +( 3x+1) =0$
$\Rightarrow ( 3x+1)( 3x+1) =0$
如果 $3x+1=0$
$\Rightarrow x=-\frac{1}{3}$
如果 $k=-3$，则方程变为：
$( -3+4) x^{2} +( -3+1) x+1=0$
$x^{2} -2x+1=0$
$\Rightarrow x^{2} -x-x+1=0$
$\Rightarrow x( x-1) -( x-1) =0$
$\Rightarrow ( x-1)( x-1) =0$
如果 $x-1=0$
$\Rightarrow x=1$
对于 k=5 或 -3 的值，给定的二次方程具有相等根。
并且该方程有两个相等的根 $-\frac{1}{3}$ 和 1。
更新于： 2022 年 10 月 10 日
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