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法学求解二次方程$(2p + 1)x^2 - (7p + 2)x + (7p - 3) = 0$具有相等根的p值。并求出这些根。
已知
已知二次方程为$(2p + 1)x^2 - (7p + 2)x + (7p - 3) = 0$。
解题步骤
我们需要找到使给定二次方程具有相等根的p值。
解答
$(2p + 1)x^2 - (7p + 2)x + (7p - 3) = 0$
将给定的二次方程与二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0$进行比较，得到：
$a=2p+1, b=-(7p+2)$ 和 $c=7p-3$。
标准形式二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式为$D=b^2-4ac$。
$D=[-(7p+2)]^2-4(2p+1)(7p-3)$
$D=(7p+2)^2-(8p+4)(7p-3)$
$D=(7p)^2+2(7p)(2)+(2)^2-8p(7p)-8p(-3)-4(7p)-4(-3)$
$D=49p^2+28p+4-56p^2+24p-28p+12$
$D=-7p^2+24p+16$
如果$D=0$，则给定的二次方程具有相等根。
因此，
$-7p^2+24p+16=0$
$7p^2-24p-16=0$
$7p^2-28p+4p-16=0$
$7p(p-4)+4(p-4)=0$
$(7p+4)(p-4)=0$
$7p+4=0$ 或 $p-4=0$
$7p=-4$ 或 $p=4$
$p=\frac{-4}{7}$ 或 $p=4$
p的值为$\frac{-4}{7}$ 和 $4$。
对于 $p = \frac{-4}{7}$，
$[2(\frac{-4}{7}) + 1]x^2 - [7(\frac{-4}{7}) + 2]x + [7(\frac{-4}{7}) - 3] = 0$
$(\frac{-8+7}{7})x^2 - (-4+2)x + (-4-3) = 0$
$(\frac{-1}{7})x^2+2x - 7 = 0$
$x^2+(-7)(2)x+(-7)(-7)=0$ (两边乘以$-7$)
$x^2-14x+49=0$
$(x-7)^2 = 0$
$x-7=0$
$x=7$
因此，对于$p=\frac{-4}{7}$，给定二次方程的根为$7$和$7$。
对于 $p = 4$，
$(2p + 1)x^2 - (7p + 2)x + (7p - 3) = 0$
$[2(4)+1]x^2 -[7(4)+2]x + [7(4)-3] = 0$
$9x^2-30x+25=0$
$(3x)^2-2(3x)(5)+(5)^2=0$
$(3x - 5)^2 = 0$
$3x-5=0$
$3x=5$
$x=\frac{5}{3}$
因此，对于$p=4$，给定二次方程的根为$\frac{5}{3}$和$\frac{5}{3}$。
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