求使二次方程 $(p + 1)x^2 - 6(p + 1)x + 3(p + 9) = 0, p ≠ -1$ 有相等根的 p 的值。然后求出该方程的根。

已知

已知二次方程为 $(p + 1)x^2 - 6(p + 1)x + 3(p + 9) = 0, p ≠ -1$。

要求

我们需要求出使给定二次方程有相等根的 p 的值。

解

 $(p + 1)x^2 - 6(p + 1)x + 3(p + 9) = 0, p ≠ -1$

将给定的二次方程与二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 进行比较，得到：

$a=p+1, b=-6(p+1)$ 和 $c=3(p+9)$。

二次方程标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式为 $D=b^2-4ac$。

$D=[-6(p+1)]^2-4(p+1)(3(p+9))$

$D=36(p+1)^2-12(p+1)(p+9)$

$D=36(p^2+2p+1)-12(p^2+p+9p+9)$

$D=36p^2+72p+36-12p^2-120p-108$

$D=24p^2-48p-72$

如果 $D=0$，则给定的二次方程有相等根。

因此，

$24p^2-48p-72=0$

$24(p^2-2p-3)=0$

$p^2-2p-3=0$

$p^2-3p+p-3=0$

$p(p-3)+1(p-3)=0$

$(p+1)(p-3)=0$

$p+1=0$ 或 $p-3=0$

$p=-1$ 或 $p=3$

p 的值为 $-1$ 和 $3$。  

对于 $p = -1$，

$(p + 1)x^2 - 6(p + 1)x + 3(p + 9) = 0$

$(-1+1)x^2-6(-1+1)x + 3(-1+9) = 0$

$24=0$，这是不可能的。

对于 $p = 3$，

$(p + 1)x^2 - 6(p + 1)x + 3(p + 9) = 0$

$(3 + 1)x^2 - 6(3 + 1)x + 3(3+9) = 0$

$4x^2 - 24x + 36 = 0$

$4(x^2-6x+9)=0$

$x^2-6x+9=0$

$(x - 3)^2 = 0$

$x-3=0$

$x=3$

因此，当 $p=3$ 时，给定二次方程的根为 $3$ 和 $3$。

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更新于: 2022年10月10日

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