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法律研究求使二次方程 $(p + 1)x^2 - 6(p + 1)x + 3(p + 9) = 0, p ≠ -1$ 有相等根的 p 的值。然后求出该方程的根。
已知
已知二次方程为 $(p + 1)x^2 - 6(p + 1)x + 3(p + 9) = 0, p ≠ -1$。
要求
我们需要求出使给定二次方程有相等根的 p 的值。
解
$(p + 1)x^2 - 6(p + 1)x + 3(p + 9) = 0, p ≠ -1$
将给定的二次方程与二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 进行比较，得到：
$a=p+1, b=-6(p+1)$ 和 $c=3(p+9)$。
二次方程标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式为 $D=b^2-4ac$。
$D=[-6(p+1)]^2-4(p+1)(3(p+9))$
$D=36(p+1)^2-12(p+1)(p+9)$
$D=36(p^2+2p+1)-12(p^2+p+9p+9)$
$D=36p^2+72p+36-12p^2-120p-108$
$D=24p^2-48p-72$
如果 $D=0$，则给定的二次方程有相等根。
因此，
$24p^2-48p-72=0$
$24(p^2-2p-3)=0$
$p^2-2p-3=0$
$p^2-3p+p-3=0$
$p(p-3)+1(p-3)=0$
$(p+1)(p-3)=0$
$p+1=0$ 或 $p-3=0$
$p=-1$ 或 $p=3$
p 的值为 $-1$ 和 $3$。
对于 $p = -1$，
$(p + 1)x^2 - 6(p + 1)x + 3(p + 9) = 0$
$(-1+1)x^2-6(-1+1)x + 3(-1+9) = 0$
$24=0$，这是不可能的。
对于 $p = 3$，
$(p + 1)x^2 - 6(p + 1)x + 3(p + 9) = 0$
$(3 + 1)x^2 - 6(3 + 1)x + 3(3+9) = 0$
$4x^2 - 24x + 36 = 0$
$4(x^2-6x+9)=0$
$x^2-6x+9=0$
$(x - 3)^2 = 0$
$x-3=0$
$x=3$
因此，当 $p=3$ 时，给定二次方程的根为 $3$ 和 $3$。
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