如果-5是二次方程$2x^{2} + px – 15 = 0$的一个根，并且二次方程$p(x^{2} + x) + k = 0$有两个相等的根，求k的值。

已知：-5是二次方程$2x^{2} + px – 15 = 0$的一个根，并且二次方程$p(x^{2} + x) + k = 0$有两个相等的根。

要求：求k的值。

解答

已知-5是二次方程$2x^{2} + p – 15 = 0$的一个根。

$\because $ –5满足该方程。

$\therefore  2( –5)^{2} + p( –5)  – 15 = 0$

$\Rightarrow  50 – 5p – 15 = 0$

$\Rightarrow  35 – 5p = 0$

$\Rightarrow \ 5p = 35$

$\Rightarrow p = 7$

将$p = 7$代入$p(x^{2} + x) + k = 0$，得到

$7(x^{2} + x) + k = 0$

$\therefore  7x^{2} + 7x + k = 0$

该方程的根相等。

$\therefore$ 判别式$= b^{2} – 4ac = 0$

这里，$a = 7$，$b = 7$，$c = k$

$b^{2} - 4ac = 7^{2} - 4 \times 7 \times k = 49 - 28k = 0$

$\Rightarrow 49 = 28k$

$\Rightarrow k = \frac{49}{28}$

$\Rightarrow k = \frac{7}{4}$

因此，k的值为$\frac{7}{4}$。

 

更新于： 2022年10月10日

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