写出使二次方程 $x^2+kx+16=0$ 有相等根的所有 k 值。并求出该方程的根。

已知

已知二次方程为 $x^2 + kx + 16 = 0$。

要求

我们必须找到使给定二次方程具有相等根的 k 值。

解答

$x^2 + kx + 16 = 0$

将给定的二次方程与二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 进行比较，得到：

$a=1, b=k$ 和 $c=16$。

二次方程标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式为 $D=b^2-4ac$。

$D=(k)^2-4(1)(16)$

$D=k^2-64$

如果 $D=0$，则给定的二次方程具有相等根。

因此，

$k^2-64=0$

$k^2-(8)^2=0$

$(k+8)(k-8)=0$

$k+8=0$ 或 $k-8=0$

$k=-8$ 或 $k=8$

k 的值为 $-8$ 和 $8$。  

对于 $k = -8$，

$x^2 + kx + 16 = 0$

$x^2 + (-8)x + 16 = 0$

$x^2 - 8x + 16 = 0$

$(x - 4)^2 = 0$

$x-4=0$

$x=4$

因此，对于 $k=-8$，给定二次方程的根为 $4$ 和 $4$。

对于 $k = 8$，

$x^2 + kx + 16 = 0$

$x^2 + 8x + 16 = 0$

$(x + 4)^2 = 0$

$x+4=0$

$x=-4$

因此，对于 $k=8$，给定二次方程的根为 $-4$ 和 $-4$。

教程点

更新于: 2022-10-10

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