如果 $a, b, c$ 是实数且 $ac≠0$，则证明方程 $ax^2+bx+c=0$ 和 $-ax^2+bx+c=0$ 中至少有一个方程有实根。

已知

已知二次方程为 $ax^2+bx+c=0$ 和 $-ax^2+bx+c=0$，其中 $a, b, c$ 是实数且 $ac≠0$。

要求

我们需要证明方程 $ax^2+bx+c=0$ 和 $-ax^2+bx+c=0$ 中至少有一个方程有实根。

解答

令 $D_1$ 为 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式，$D_2$ 为 $-ax^2+bx+c=0$ 的判别式。

二次方程标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式为 $D=b^2-4ac$。

因此，

$D_1=(b)^2-4(a)(c)$

$D_1=b^2-4ac$

$D_2=(b)^2-4(-a)(c)$

$D_2=b^2+4ac$

$D_1+D_2=b^2-4ac+b^2+4ac$

$D_1+D_2=2b^2$

$D_1+D_2≥0$    (因为 $b$ 是实数)

这意味着，$D_1$ 和 $D_2$ 中至少有一个大于或等于零。

因此，方程 $ax^2+bx+c=0$ 和 $-ax^2+bx+c=0$ 中至少有一个方程有实根。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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