如果方程$(c^2-ab)x^2-2(a^2-bc)x+b^2-ac=0$的根相等，证明要么$a=0$，要么$a^3+b^3+c^3=3abc。

已知

已知二次方程为$(c^2-ab)x^2-2(a^2-bc)x+b^2-ac=0$。已知该二次方程的根相等。

要求

我们必须证明要么$a=0$，要么$a^3+b^3+c^3=3abc。

解答

将给定的二次方程与二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0$进行比较，我们得到：

$a=(c^2-ab), b=-2(a^2-bc)$ 和 $c=(b^2-ac)$。

标准形式的二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式为$D=b^2-4ac$。

$D=[-2(a^2-bc)]^2-4(c^2-ab)(b^2-ac)$

$D=4(a^4-2a^2bc+b^2c^2)-4(b^2c^2-ac^3-ab^3+a^2bc)$

$D=4a^4-8a^2bc+4b^2c^2-4b^2c^2+4ac^3+4ab^3-4a^2bc$

$D=4a^4+4ac^3+4ab^3-12a^2bc$

$D=4a(a^3+c^3+b^3-3abc)$

如果$D=0$，则给定的二次方程具有相等的根。

这意味着：

$4a(a^3+c^3+b^3-3abc)=0$

$4a=0$ 或 $a^3+c^3+b^3-3abc=0$

$a=0$ 或 $a^3+c^3+b^3=3abc$

证毕。

教程点

更新于：2022年10月10日

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