如果方程$ax^2+2bx+c=0$和$bx^2-2\sqrt{ac}x+b=0$的根同时为实数，则证明$b^2=ac$。

已知

已知二次方程为$ax^2+2bx+c=0$和$bx^2-2\sqrt{ac}x+b=0$。给定二次方程的根同时为实数。

目标

我们必须证明$b^2=ac$。

解答

设$D_1$为$ax^2+2bx+c=0$的判别式，$D_2$为$bx^2-2\sqrt{ac}x+b=0$的判别式。

标准形式二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式为$D=b^2-4ac$。

因此，

$D_1=(2b)^2-4(a)(c)$

$D_1=4b^2-4ac$

$D_2=(-2\sqrt{ac})^2-4(b)(b)$

$D_2=4ac-4b^2$

如果$D_1≥0$且$D_2≥0$，则给定的二次方程具有实根。

这意味着，

$4b^2-4ac≥0$且$4ac-4b^2≥0$

$b^2-ac≥0$且$ac-b^2≥0$

$b^2≥ac$且$ac≥b^2$

因此，

$b^2=ac$

证毕。

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更新于：2022年10月10日

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