如果 $a ≠ b ≠ 0$，证明点 $(a, a^2), (b, b^2), (0, 0)$ 永远不共线。

已知

给定点为 $(a, a^2), (b, b^2), (0, 0)$。

$a ≠ b ≠ 0$

要求

我们必须证明给定的点永远不共线。

解答

设 $A(a, a^2), B(b, b^2)$ 和 $C(0, 0)$ 为 $\triangle ABC$ 的顶点。

我们知道，

顶点为 $(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$ 的三角形的面积由以下公式给出： 

三角形面积 $\Delta=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$

因此，

三角形 \( ABC\) 的面积 \(=\frac{1}{2}[a(b^2-0)+b(0-a^2)+0(a^2-b^2)] \)

\( =\frac{1}{2}[ab^2-a^2b+0] \)

\( =\frac{1}{2}[ab(b-a)] \)

\( ≠0 \)       (因为 $a ≠ b ≠ 0$)

这里，

$\triangle ABC$ 的面积不等于零。

因此，点 $A, B$ 和 $C$ 不共线。

证毕。  

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更新于： 2022 年 10 月 10 日

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