证明如果$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$，则点$(a, 0), (0, b)$和$(1, 1)$共线。

已知

已知点为$(a, 0), (0, b)$和$(1, 1)$。

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$。

要求

我们必须证明给定的点是共线的。

解答

设$A(a, 0), B(0, b)$和$C(1, 1)$为$\triangle ABC$的顶点。

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$

$\Rightarrow \frac{b+a}{ab}=1$

$\Rightarrow a+b=ab$

$\Rightarrow ab-a-b=0$.......(i)

我们知道，

顶点为$(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$的三角形的面积由下式给出： 

三角形面积$\Delta=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$

因此，

三角形\( ABC\)的面积\(=\frac{1}{2}[a(b-1)+0(1-0)+1(0-b)] \)

\( =\frac{1}{2}[ab-a-b] \)

\( =0\)   (由(i)式)

因此，点$A, B$和$C$共线。

因此，证毕。

证毕。 

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更新于：2022年10月10日

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