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法律研究证明\( \frac{1}{1+x^{a-b}}+\frac{1}{1+x^{b-a}}=1 \)
已知
\( \frac{1}{1+x^{a-b}}+\frac{1}{1+x^{b-a}}=1 \)
需要做的事情
我们需要证明\( \frac{1}{1+x^{a-b}}+\frac{1}{1+x^{b-a}}=1 \)。
解答
我们知道：
$(a^{m})^{n}=a^{m n}$
$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$
$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$
$a^{0}=1$
左侧 = $\frac{1}{1+x^{a-b}}+\frac{1}{1+x^{b-a}}$
$=\frac{1}{x^{b-b}+x^{a-b}}+\frac{1}{x^{a-a}+x^{b-a}}$ [用 $1=x^{b-b}$ 和 $1=x^{a-a}$ 代替]
$=\frac{1}{x^{-b}(x^{b}+x^{a})}+\frac{1}{x^{-a}(x^{a}+x^{b})}$
$=\frac{x^{b}}{x^{a}+x^{b}}+\frac{x^{a}}{x^{a}+x^{b}}$
$=\frac{x^{b}+x^{a}}{(x^{a}+x^{b})}$
$=\frac{x^{a}+x^{b}}{(x^{a}+x^{b})}$
$=1$
$=$ 右侧
因此得证。
更新于： 2022年10月10日
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