证明$\frac{1}{1+x^{a-b}}+\frac{1}{1+x^{b-a}}=1$

已知

$\frac{1}{1+x^{a-b}}+\frac{1}{1+x^{b-a}}=1$

需要做的事情

我们需要证明$\frac{1}{1+x^{a-b}}+\frac{1}{1+x^{b-a}}=1$。

解答

我们知道：

$(a^{m})^{n}=a^{m n}$

$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$

$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$

$a^{0}=1$  

左侧 = $\frac{1}{1+x^{a-b}}+\frac{1}{1+x^{b-a}}$

$=\frac{1}{x^{b-b}+x^{a-b}}+\frac{1}{x^{a-a}+x^{b-a}}$        [用 $1=x^{b-b}$ 和 $1=x^{a-a}$ 代替]

$=\frac{1}{x^{-b}(x^{b}+x^{a})}+\frac{1}{x^{-a}(x^{a}+x^{b})}$

$=\frac{x^{b}}{x^{a}+x^{b}}+\frac{x^{a}}{x^{a}+x^{b}}$

$=\frac{x^{b}+x^{a}}{(x^{a}+x^{b})}$

$=\frac{x^{a}+x^{b}}{(x^{a}+x^{b})}$

$=1$

$=$ 右侧

因此得证。  

教程点

更新于： 2022年10月10日

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