如果$abc=1$，证明$\frac{1}{1+a+b^{-1}}+\frac{1}{1+b+c^{-1}}+\frac{1}{1+c+a^{-1}}=1$

已知

$abc=1$

要求

我们必须证明$\frac{1}{1+a+b^{-1}}+\frac{1}{1+b+c^{-1}}+\frac{1}{1+c+a^{-1}}=1$.

解答

我们知道：

$(a^{m})^{n}=a^{mn}$

$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$

$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$

$a^{0}=1$

$abc=1$

$\Rightarrow c=\frac{1}{ab}$.....(i)

$ab=\frac{1}{c}$........(ii)

左边 $=\frac{1}{1+a+b^{-1}}+\frac{1}{1+b+c^{-1}}+\frac{1}{1+c+a^{-1}}$

$=\frac{1}{1+a+\frac{1}{b}}+\frac{1}{1+b+\frac{1}{c}}+\frac{1}{1+c+\frac{1}{a}}$

$=\frac{1}{\frac{b+ab+1}{b}}+\frac{1}{1+b+ab}+\frac{1}{1+\frac{1}{ab}+\frac{1}{a}}$ [根据 (i) 和 (ii)]

$=\frac{b}{b+ab+1}+\frac{1}{1+b+ab}+\frac{ab}{ab+1+b}$

$=\frac{b+1+ab}{b+1+ab}$

$=1$

证毕。

教程点

更新于：2022年10月10日

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