证明$\frac{1}{1+x^{b-a}+x^{c-a}}+\frac{1}{1+x^{a-b}+x^{c-b}}+\frac{1}{1+x^{b-c}+x^{a-c}}=1$

已知

$\frac{1}{1+x^{b-a}+x^{c-a}}+\frac{1}{1+x^{a-b}+x^{c-b}}+\frac{1}{1+x^{b-c}+x^{a-c}}=1$

要求

我们需要证明$\frac{1}{1+x^{b-a}+x^{c-a}}+\frac{1}{1+x^{a-b}+x^{c-b}}+\frac{1}{1+x^{b-c}+x^{a-c}}=1$.

解答

我们知道：

$(a^{m})^{n}=a^{m n}$

$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$

$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$

$a^{0}=1$  

左边 $=\frac{1}{1+x^{b-a}+x^{c-a}}+\frac{1}{1+x^{a-b}+x^{c-b}}+\frac{1}{1+x^{b-c}+x^{a-c}}$   

$=\frac{1}{x^{a-a}+x^{b-a}+x^{c-a}}+\frac{1}{x^{b-b}+x^{a-b}+x^{c-b}}+\frac{1}{x^{c-c}+x^{b-c}+x^{a-c}}$           [用 $1=x^{a-a}, 1=x^{b-b}$ 和 $1=x^{c-c}$ 代替]

$=\frac{1}{x^{-a}(x^{a}+x^{b}+x^{c})}+\frac{1}{x^{-b}(x^{b}+x^{a}+x^{c})}+\frac{1}{x^{-c}(x^{c}+x^{b}+x^{a})}$

$=\frac{x^{a}+x^{b}+x^{c}}{x^{a}+x^{b}+x^{c}}$

$=1$

$=$ 右边

因此得证。   

教程点

更新于: 2022年10月10日

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