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\( \left(\frac{x^{a}}{x^{b}}\right)^{a^{2}+a b+b^{2}} \times\left(\frac{x^{b}}{x^{c}}\right)^{b^{2}+b c+c^{2}} \times\left(\frac{x^{c}}{x^{a}}\right)^{c^{2}+c a+a^{2}}=1 \)
要做的事
我们需要证明 \( \left(\frac{x^{a}}{x^{b}}\right)^{a^{2}+a b+b^{2}} \times\left(\frac{x^{b}}{x^{c}}\right)^{b^{2}+b c+c^{2}} \times\left(\frac{x^{c}}{x^{a}}\right)^{c^{2}+c a+a^{2}}=1 \).
解答
我们知道，
$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
$a^m \times a^n = a^ {m+n}$
因此，
左边
$(\frac{x^{a}}{x^{b}})^{a^{2}+a b+b^{2}} \times (\frac{x^{b}}{x^{c}})^{b^{2}+b c+c^{2}} \times(\frac{x^{c}}{x^{a}})^{c^{2}+c a+a^{2}}=(x^{a-b})^{a^{2}+a b+b^{2}}\times (x^{b-c})^{b^{2}+b c+c^{2}} \times(x^{c-a})^{c^{2}+c a+a^{2}}$
$=x^{a^3+a^2b+b^2a-ba^2-ab^2-b^3}\times x^{b^3+b^2c+bc^2-cb^2-bc^2-c^3} \times x^{c^3+c^2a+a^2c-ac^2-a^2c-a^3}$
$=x^{a^3-b^3}\times x^{b^3-c^3} \times x^{c^3-a^3}$
$=x^{a^3-b^3+b^3-c^3+c^3-a^3}$
$=x^0$
$=1$
$=$ 右边
证毕。
更新于: 2022年10月10日
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